Danke für die Aufklärung.
Ich glaube, dass ich jetzt ein brauchbares Ergebnis für "\( \Longrightarrow \)" Richtung habe.
"\( \Longrightarrow \)"
(I) \( (v_i)_i\in _I l.u.a. \Longrightarrow \left\{v_i|i\in I\right\} l.u.a \)
Ich definiere \( \left\{v_i|i\in I\right\} \):=M
Sei \( v_j\in B \) und M l.a. \( \Longrightarrow v_j\in \left[B/ \left\{v_j\right\}\right] \) wobei "/" hier "ohne" bedeuten soll.
\( \Longrightarrow ∃λ_i:v_j=\sum \limits_{v_i\in B/\left\{v_j\right\}}^{}λ_iv_i \) wobei \( v_i\in B/\left\{v_j\right\} \)
Da \( ∀v_i\in B \):\( i\rightarrow v_i \) gilt muss \( v_j\in [(v_i)_{i\in I/\left\{j\right\}} \)] sein
Was im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie spricht, woraus folgt, dass M linear unabhängig sein muss.
(II) Angenommen \( i\rightarrow v_i \) ist nicht Injektiv.
\( ∃v_j,v_k\in V:j\rightarrow v_j=v_k\leftarrow i \) wobei \( k≠j \)
\( \Longrightarrow v_k=v_j=\sum \limits_{i\in I/\left\{k\right\}}^{}λ_iv_i \)
\( \Longrightarrow v_k\in [(v_j)_{j\in I/\left\{k\right\}}] \) was im Widerspruch zur linear unabhängigkeit der Familie spricht, weshalb \( i\rightarrow v_i \) injektiv sein muss.
Ich hoffe, dass das halbwegs Sinn ergibt. Falls ich irgendetwas falsch notiert habe, bitte korrigieren.
