Lineare Gleichungssysteme: x1 = 1 - x2; x2 = x3 + 2; x3 = x1 + 1. Eliminationsverfahren.

Question

Lineare Gleichungssysteme. Bestimmen Sie mit dem Eliminationsverfahren die Lösung von

 

x₁ = 1 - x₂

x₂ = x₃ + 2

x₃ = x₁ + 1

Answer 1

Hi,

ich bennene sie mal zu a,b und c um. Außerdem sortiere ich alle Variablen nach links.

a+b    = 1        (I)

     b-c = 2       (II)

-a    +c = 1     (III)

 

(II)+(III)

  a+b    = 1     (I)

       b-c = 2     (II)

-a+b      = 3    (IV)

 

(IV)+(I)

a+b     = 1       (I)

     b-c = 2        (II)

    2b      = 4      (V)

 

Aus (V) -> b = 2

Damit in (II) -> c = 0

Mit b in (I) -> a = -1

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Gerne :)         .

Answer 2

x1 = 1 - x2

x2 = x3 + 2

x3 = x1 + 1


gleichungssystem umschreiben, sodass die unbekannten links und die konstanten rechts stehen:


1) x1 + x2 = 1
2)  x2 - x3 = 2

3) -x1 + x3 = 1

methode des scharfen ansehens benutzen: addiere zwei gleichungen so miteinander, dass eine unbekannte und der summe null ergibt und dadurch eliminiert wird.

wir addieren die erste zur dritten gleichung

1) + 3)

x1 + x2 + (-x1) + x3 = 1 + 1

x2 + x3 = 2 das ist unsere neue gleichung, die wir an die dritte position des gleichungssystems schreiben, die ersten beiden gleichungen schleppen wir mit

1) x1 + x2 = 1

2)  x2 - x3 = 2

3) x2 + x3 = 2

wir addieren die zweite zur dritten gleichung:

2) + 3)

x2 - x3 + x2 + x3 = 2 + 2

x2 = 4 das ist unsere neue gleichung, die wir an die dritte position schreiben, die ersten beide schleppen wir wieder mit

1) x1 + x2 = 1

2)  x2 - x3 = 2

3) x2 = 4

x2 ist bekannt, die übrigen beiden unbekannten kann man durch einsetzen berechnen.

wir setzen x2 = 4 in die zweite gleichung ein:

4 - x3 = 2

umstellen nach x3:

x3 = 4-2

x3 = 2

fehlt noch die unbekannte x1

x2 = 4 in die erste gleichung eingesetzt ergibt:

x1 + 4 = 1

x1 = 1-4

x1 = -3

et voilà

Comments

2) + 3)

x2 - x3 + x2 + x3 = 2 + 2

2x2 = 4 das ist unsere neue gleichung, die wir an die dritte position schreiben, die ersten beide schleppen wir wieder mit

Da haste Du eine 2 vergessen ;).

Answer 3

Geht nach den Gaußverfahren.

Hier liegt ein lineares GLS mit 3 Unbekannten vor:

x1 + x2 = 1 (1)

x2 - x3 = 2 (2)

-x1 + x3 = 1 (3)

Nun schreibt man die Koeffizienten vor den einzelnen Unbekannten zeilenweise und die rechte Seite hinter einem Strick heraus:

1 1 0 | 1

0 1 -1 | 2

-1 0 1 | 1

Tausche 3. mit 2. Zeile:

1 1 0 | 1

-1 0 1 | 1

0 1 -1 | 2

 Addiere Zeile 1 mit 2:

1 1 0 | 1

0 1 1 | 2

0 1 -1 | 2

Multipliziere dritte Zeile mit (-1) und addiere anschließen mit 2. Zeile:

1 1 0 | 1

0 1 1 | 2

0 0 2 | 0 -> x3 = 0.

Aus Gleichung (2) folgt dann x2 = 2 und aus Gleichung (1) folgt x1 = -1.