Gewinnfunktion f(x1,x2,x3,x4)= 3,5*x1 + 6*x2 − 0,04*x1^2 − 0,01x2^2 - 0,01*x1*x2 + 12*x^3 - x4

Question

Hallo, versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, komme aber nicht weiter.

Eine Tankstelle bietet vier Kraftstoffe in den Mengen x₁ , x₂ , x₃ und x₄ an. Es ist zu berücksichtigen, dass insgesamt genau 800 Liter angeboten werden sollen und dabei von Kraftstoff 1 doppelt so viel wie von Kraftstoff 3 angeboten wird. (Hinweis: Daraus ergeben sich zwei Nebenbedingungen). Die Gewinnfunktion ist gegeben durch

f(x₁,x₂,x₃,x₄)= 3,5x₁ + 6x₂ − 0,04x₁² − 0,01x₂² - 0,01x₁x₂ + 12x₃ - x₄

Bestimmen Sie mit Hilfe der Eliminationsmethode die Maximalstelle und den Maximalwert der Gewinnfunktion. Überprüfen Sie auch die hinreichende Bedingung.
Hinweis: Nach der Elimination ergibt sich eine Funktion von zwei Variablen.

Als Nebenbedingung habe ich x₁ = 2x₃ 

und daraus folgend x₂ + 3x₃ + x₄ = 800

Jetzt habe ich Probleme, damit, x₄ zu eliminieren und die Lagrange-Funktion aufzulösen, sodass ich jedes einzelne x bestimmen kann.

Als Lösung soll f(100, 300, 50, 350) = 800 herauskommen.

Comments

Hallo

 x4=800-x2-3x3 direkt einsetzen ohne Lagrange und dann das Max für F(x2,x3) bestimmen.

Answer 1

y = 3.5·a + 6·b - 0.04·a^2 - 0.01·b^2 - 0.01·a·b + 12·c - d

ersetze

a + b + c + d = 800 --> d = -a - b - c + 800

a = 2·c --> c = 0.5·a

y = 3.5·a + 6·b - 0.04·a^2 - 0.01·b^2 - 0.01·a·b + 12·(0.5·a) - (-a - b - (0.5·a) + 800)

y(a, b) = - 0.04·a^2 + 11·a - 0.01·a·b - 0.01·b^2 + 7·b - 800

Von dieser Funktion sollst du jetzt die Extremstellen bestimmen.