Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass die Kunden die Postfiliale aufsuchen?

Question

In einer Postfiliale soll der Stellenplan für die kommenden Monate festgelegt werden. In der folgenden Tabelle sehen Sie für die poissonverteilte Zufallsvariable 'Anzahl der Kunden pro Tag' die Aufzeichnungen über 5 Tage:
Tag 1 2 3 4 5
Kunden 52 62 73 47 46
Berechnen Sie nun approximativ (mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes) die Wahrscheinlichkeit, dass in den kommenden 60 Tagen zwischen 3245 und 3440 Kunden die Postfiliale aufsuchen werden, wenn die Anzahl der Kunden pro Tag als voneinander unabhängige Zufallsvariablen angenommen werden sollen. (Geben Sie das Ergebnis bitte in Prozent an!)

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μ=(52+62+73+47+46)/5

μ=58 Kunden

σ=√((52-58)^2+(62-58)^2+(73-58)^2+(47-58)^2+(46-58)^2)

σ=√542

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P(3245≤X≤3440)≈Φ((3440-58)/√542))-Φ((3245-500)/√542))

Suchst du das?

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Ich bin mir nicht sicher hätte es aber wie folgt gerechnet

NORMAL((3440 - 3360)/√3360) - NORMAL((3245 - 3360)/√3360) = 0.8926

Warum du weiterhin mit der Standardabweichung für 5 Tage rechnest ist mir auch unklar. Das wird sicher nicht die Standardabweichung für 60 Tage sein.

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Oh ja, das müssten 60 Tage sein. Sonst sieht deine Rechnung meiner sehr ähnlich.

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Mir ist gerade noch aufgefallen das der Erwartungswert bei 56 statt 58 liegt.

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Falsch im TR eingegeben ....

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@racine_carree wenn ich deine Rechnung ausrechne kommen ich auf, 27.36. Das ist aber leider Falsch.

LG

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Ja, ich habe einige Fehler gemacht. Guck dir mal die Revision von Mathecoach an. Ich habe versehentlich mit 6 Tagen statt 60 gerechnet.

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Falls du das irgendwann lesen solltest, ich verstehe bei dir nicht, wieso die Standardabweichung \(\sqrt{3360}\) beträgt, das musst du mir nochmal erklären... Habe mal meine Version aufgeschrieben.

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Schau mal was man unter einer "poissonverteilten Zufallsvariablen" versteht. Wie ist das dort mit dem Erwartungswert und mit der Varianz und warum?

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Hmm, anscheinend ist\(\lambda\) ist zugleich Varianz und Erwartungswert. Also ist \(\lambda\) gleich \(n\cdot p\) und für die Varianz sollte \(\sigma^2=\lambda\) gelten. Ferner sollte \(\sigma=\sqrt{\lambda}\) die Standarbabweichung sein.

Wieso muss das eig. mit dem zentralen Grenzwertsatz errechnet werden? Das geht doch bestimmt auch direkt mit der Poissonverteilung.

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Bei der Poissonverteilung geht

n --> ∞ und p --> 0

Es gilt

λ = μ = n·p

λ = σ^2 = n·p·(1 - p)

Berechne es mal direkt über die Poissonverteilung.

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Was spricht gegen:$$P(3245≤X≤3440)=\sum_{u=3245}^{3440}{\frac{3360^u}{u!}\cdot e^{-3360}}$$$$P(3245≤X≤3440)\approx 0.8944639$$

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Mit was hast du das jetzt gerechnet? Wohl eher nicht mit einem Taschenrechner, der den Studenten zur Verfügung steht oder?

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WolframAlpha, mein Taschenrechner (der auf deinem Profilbild) schafft das nicht.

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Siehst du. Jetzt weißt du eventuell warum sowas in der Regel über die Normalverteilung genähert wird.

Denn das kann man mit nur einer Tabelle im DIN A4 Format sogar handschriftlich ohne Taschenrechner ausrechnen.

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handschriftlich ohne Taschenrechner ausrechnen.

Ich wahrscheinlich nicht. Ich rechne 4*9 im Taschenrechner :')

Jetzt macht das alles mehr Sinn, trotzdem scheint die Antwort falsch zu sein.

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Siehe dazu auch meine Antwort von vor einer halben Stunde. Zwischen 1 und 10 heißt ja eigentlich von 2 bis 9.

Außerdem ist etwas unklar ob mit stetiger Ergänzung oder ohne gerechnet wird. Das habe ich bei einer Poissonverteilung noch nie gemacht und ich habe jetzt gerade auch keine Zeit das mal zu untersuchen.

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Okay danke.

Ich hatte gerade eine richtige Erleuchtung, wieso man mit \(\sqrt{3360}\) rechnet. Sehr interessante, spaß-bringende Frage, meiner Meinung nach.

Answer 1

Hallo Einsteiger,

Der Erwartungswert wird wie folgt berechnet:$$\mu=\underbrace{\frac{52+62+73+47+46}{5}}_{56}$$ Die Standardabweichung so:$$\sigma =\underbrace{\sqrt{(52-58)^2+(62-58)^2+(73-58)^2+(47-58)^2+(46-58)^2}}_{\sqrt{542}}$$ Unter sehr schwachen, in der Praxis meist erfüllten Bedingungen für die ansonsten beliebig verteilten \(X_k\) gilt die Näherungsformel:$$P(x≤X≤y)\approx \Phi \left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ Setzen wir dort ein erhalten wir:$$P(3245≤X≤3440)\approx \Phi \left(\frac{3440-60\cdot 56}{60\sqrt{542}}\right)-\Phi\left(\frac{3245-60\cdot 56}{60\sqrt{542}}\right)$$$$                                                                          \int_{3245}^{3440}\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot  (60\sqrt{542})^2}}\cdot e^{\frac{(x-3360)^2}{2\cdot(60\sqrt{542})^2 }}dx ≈ 0.05564257551≈ 5.56\%$$ Stimmt das?

Comments

stimmt leider auch nicht.

LG

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Was stimmt denn, das wäre sehr hilfreich.

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Kann leider nur kontrollieren ob die Antwort stimmt oder nicht, die Lösung wird leider nicht angezeigt..

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Stimmt:

0.8926 =89.26%

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auch nicht =/

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R.I.P, tut mir leid.

Eins noch:

0.944357=94.43%

sonst bin ich auch raus

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leider auch nicht, danke aber trotzdem :)

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Hmm, hast du eine Idee, woran das liegen kann, oder hast du selbst eine Idee?

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Eine ähnliche Aufgabe habe ich folgendermaßen gerechnet, da lieg ich nur um eine paar Nachkommastellen daneben..

https://www.mathelounge.de/548919/wie-hoch-ist-die-wahrscheinlichkeit

Answer 2

zwischen 3245 und 3440 Kunden

Das heißt eventuell

3246 <= X <= 3439

Ohne stetiger Ergänzung

NORMAL((3439 - 3360)/√3360) - NORMAL((3246 - 3360)/√3360) = 0.8889

Mit stetiger Ergänzung

NORMAL((3439 + 0.5 - 3360)/√3360) - NORMAL((3246 - 0.5 - 3360)/√3360) = 0.8908