Für n=1 ist das einfach die Produktregel; denn
$$\sum_{i=0}^{1}{\begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix}f^{(i)}(x_{0})g^{(1-i)}(x_{0})}$$
$$={\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}f^{(0)}(x_{0})g^{(1)}(x_{0})}+{\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}f^{(1)}(x_{0})g^{(0)}(x_{0})}$$
$$={1*f(x_{0})g'(x_{0})+1*f'(x_{0})g(x_{0})}$$.
Und für den Induktionsschritt brauchst du neben der Aussage
über die Differenzierbarkeit:
$$(f*g)^{(n+1)}(x_{0})=((f*g)^{(n)})'(x_{0})$$
und dann die Ind.vor. gibt
$$=(\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}f^{(i)}(x_{0})g^{(n-i)}(x_{0})})'$$
Mit der Regel über die Abl. einer Summe und für einen konstanten Faktor gibt das
$$=\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} (f^{(i)}(x_{0})g^{(n-i)}(x_{0})})'$$
Nun im Inneren der Summe die Produktregel anwenden:
$$=\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} (f^{(i+1)}(x_{0})g^{(n-i)}(x_{0})+f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0}))}$$
Daraus zwei Summen machen
$$\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f^{(i+1)}(x_{0})g^{(n-i)}(x_{0})}+\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}$$
Indexverschiebung bei der 1. Summe:
$$\sum_{i=1}^{n+1}{\begin{pmatrix} n\\i-1 \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}+\sum_{i=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}$$
Bei beiden Summen je eine 0 ergänzen gibt:
$$\sum_{i=0}^{n+1}{\begin{pmatrix} n\\i-1 \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}+\sum_{i=0}^{n+1}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}$$
und wieder zu einer Summe machen
$$\sum_{i=0}^{n+1}{(\begin{pmatrix} n\\i-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix}) f^{(i)}(x_{0})g^{(n+1-i)}(x_{0})}$$
Jetzt noch die bekannte Formel für die Summe zweier Binomialkoeffizienten anwenden und du hast es.
