f(x) = √((1 - x3)/(1 + x3))
1. Geben Sie die Menge aller x ∈ R an, für die f(x) ∈ R.
Der Nenner darf nicht null sein. x ≠ -1
Der Wurzelterm muss ≥ 0 sein.
(1 - x3)/(1 + x3) ≥ 0
-1 < x ≤ 1
D = {x | -1 < x ≤ 1}
2. Ist f(x) an der Stelle x0 = 1 differenzierbar? Begründen Sie ihre Entscheidung durch eine Rechnung.
Die Ableitung der Wurzel erfolgt nach Kettenregel. Also leite ich mal den Term unter der Wurzel ab.
[((1 - x3)/(1 + x3))1/2]' = 1/2·((1 - x3)/(1 + x3))- 1/2·(- 6·x2/(x3 + 1)2)
Nun haben wir die Wurzel statt auf dem Bruchstrich unter dem Bruchstrich. Und weil die Wurzel bei x = 1 Null wird würde dort der Nenner Null werden und das ist nicht erlaubt. Also ist die Funktion bei 1 nicht differenzierbar.
3. Bestimmen Sie die Ableitung f'(x) und berechnen Sie f'(0).
Die Aufgabe habe ich vorgezogen gehabt.
Nun noch einsetzen
1/2·((1 - 03)/(1 + 03))- 1/2·(- 6·02/(03 + 1)2) = 0