Differentialrechnung: f(x) = x / √(x^2-4) . Wo definiert, differenzierbar? Ableitung bestimmen.

Question

Für welche x ∈ ℝ ist die Funktion f definiert? An welcher Stelle ist sie differenzierbar? Bestimmen Sie dort die Ableitung von f, also f `(x).
f (x) = $$ \frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-4 }  } $$

Comments

Ich muss die selben Aufgaben abarbeiten, jedoch für diese Funktion:

f(x) = (1+x) * $$ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt [ 3 ]{ 1+{ x }^{ 2 } } $$

Answer 1

Definitionsbereich:

D = { x ∈ R |  x ² - 4 > 0 } = { x ∈ R | x < - 2 oder x > 2 }

f ( x ) ist an allen Stellen des Definitionsbereiches differenzierbar. Dort gilt:

f ' ( x ) = [ x / sqrt ( x ² - 4 ) ] ' = [ x * ( x ² - 4 ) ^{- 0,5} ] '

Produkt - und Kettenregel:

= ( x ² - 4 ) ^{- 0,5} + x * 2 x * ( - 0,5 ) * ( x ² - 4 ) ^{- 1,5}

= ( 1 / √ ( x ² - 4 ) )  - ( x ² / √ ( x ² - 4 ) ³ )

= ( ( x ² - 4 ) / √ ( x ² - 4 ) ³ )  - ( x ² / √ ( x ² - 4 ) ³ )

= - 4 / √ ( x ² - 4 ) ³

Comments

Wie bist du auf die erste Zeile bei der Produkt-und Kettenregel gekommen? Also: = ( x 2 - 4 ) - 0,5 + x * 2 x * ( - 0,5 ) * ( x 2 - 4 ) - 1,5

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Nun, ich habe die Produktregel angewendet:

( u * v ) ' = u ' * v + u * v '

Dabei ist

u = x

=> u ' = 1

v =  ( x ² - 4 ) ^{- 0,5}

Bei der Berechnung von v ' habe ich die Kettenregel angewendet:

v ' = [ h ( g ( x ) ) ] ' = g ' ( x ) * h ' ( g ( x ) )

mit: 

g ( x ) = x ² - 4

=> g ' ( x ) = 2 x

h ( ( g ( x ) ) = g ( x ) ^{- 0,5}

=> h ' ( ( g ( x ) ) = - 0,5 * g ( x ) ^{- 1,5} = ( - 0,5 ) * ( x ² - 4 ) ^{- 1,5}

also:

v ' = 2 x * ( - 0,5 ) * ( x ² - 4 ) ^{- 1,5}

und somit insgesamt:

[ x * ( x ² - 4 ) ^{- 0,5} ] '

= u ' * v + u * v '

= 1 * ( x ² - 4 ) + x * 2 x * ( - 0,5 ) * ( x ² - 4 ) ^{- 1,5}

= ( x ² - 4 ) + x * 2 x * ( - 0,5 ) * ( x ² - 4 ) ^{- 1,5}