Hallo Ivy,
wenn es hier um Teilbarkeit geht, sollte man in dem Ausdruck \(p^3-p\) nach Faktoren suchen. Offensichtlich kann man ja \(p\) ausklammern: $$p^3-p=p(p^2-1)$$ und der zweite Faktor ist nach der dritten binomischen Formel ebenso zu zerlegen $$p^3=p(p^2-1)= p(p-1)(p+1)$$
So haben wir schon mal einen Ausdruck mit drei Faktoren vor uns. Diese drei Faktoren sind drei aufeinanderfolgende Zahlen. Folglich ist genau eine von ihnen durch 3 teilbar.
Die beiden Zahlen \(p-1\) und \(p+1\) sind beide gerade, da \(p\) selbst ungerade ist. Sie sind also beide durch 2 teilbar. Teilt man sie gar durch 4 so bleibt als Rest entweder die 0 oder die 2. Wenn nun
$$p-1 \equiv 2 \mod 4$$ ist, dann muss zwangsläufig
$$p+1 \equiv 0 \mod 4$$ sein. Oder eben umgekehrt. Das heißt eine der beiden ist nicht nur gerade - also durch 2 teilbar - sondern auch durch 4. Zusammen mit der Teilbarkeit durch 2 der ersten Zahl und der Teilbarkeit durch 3 ergibt sich dann
$$2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \mid p^3-p = p(p-1)(p+1)$$
