Zeigen Sie, dass für natürlichen Zahlen a ≥ 2 gilt (p und q sind verschiedene Primzahlen):

Question

In der folgenden Aufgabe geht es um das Produkt aller positiven Teiler P_a einer natürlichen Zahl a, d. h. sind {d1, . . . , dn} alle positiven Teiler von a, so ist
P_a =d1 ·...·dn= ∏dn (von i=1 bis n)

Für a = 4 sind beispielsweise die positiven Teiler {1, 2, 4} und ihr Produkt ist P₄ = 1 · 2 · 4 = 8.
Zeigen Sie, dass für natürlichen Zahlen a ≥ 2 gilt (p und q sind verschiedene Primzahlen):
Ist a = p³ (die dritte Potenz einer Primzahl)
oder ist a = p · q (ein Produkt aus genau zwei verschiedenen Primzahlen), dann ist P_a= a²

Verstehe nicht wie man das zeigt. Kann man die Induktion nutzen?

Answer 1

Kann man die Induktion nutzen?

Es langt wenn du die Definition benutzt:

Ist a = p^3 dann sind die Teiler {1, p, p^2, p^3} und damit deren Produkt Pa = 1 * p * p^2 * p^3 = p^6 = (p^3)^2 = a^2

Ist a = p * q dann sind die Teiler {1, p, q, p * q} und damit deren Produkt Pa = 1 * p * q * p*q = p^2 * q^2 = (p * q)^2 = a^2

Comments

Danke, sehr hilfreich