komplizierte Logarithmusgleichung nach x auflösen

Question

Hi, Leute.

ich bearbeite eine Aufgabe und komme seit einiger Zeit bei einer Teilaufgabe nicht weiter.


Sie lautet:

Mein Ansatz zu a)

Aber ist das schon alles? Wenn ich den obigen Ausdruck bei Wolfram Alpha (Online Rechner) eingebe, dann bekomme ich folgenden vereinfachten Ausdruck:

Ist das wirklich eine Vereinfachung? Wenn ja, warum? Und wie kommt man darauf? Oder gibt es eine leichtere Vereinfachung?



Mein Ansatz zu b)


Bei der b) weiß ich nicht, wie ich anfangen soll... Ich kann die Potenzausdrücke schonmal nicht zusammenfassen... Kann man die Gleichung irgendwie durch Anwendung des Logarithmus lösen oder muss man x eher durch Ausprobieren bestimmen?


Bin langsam am Verzweifeln, weil ich überhaupt keinen Ansatz habe..

Ich wäre für eure Hilfe echt dankbar.


Liebe grüße

Domenik

Comments

zu (a): Die Aufgabe ist nicht gut gestellt: Der zu vereinfachende "Ausdruck" ist doch offenbar eine Gleichung. Die angegebenen Bedingungen für die vier Variablen sind nicht hinreichend, damit die Gleichung in jedem Fall im Reellen definiert ist.

Wo hast du die Aufgabe her?

---

Vom Duplikat:

Titel: Vereinfachen Sie folgende Ausdrucke fur a, b, r, x > 0, b ≠ 1 und x > a.

Stichworte: logarithmus,vereinfachen

Vereinfachen Sie folgende Ausdrucke fur  a, b, r, x > 0,  b ≠ 1 und x > a.

1) log_b (ln r) = log_b (ln a) + log_b(x) 

---

Die Frage gab es neulich schon. Außerdem ist der "Ausdruck" eine Gleichung und der Definitionsbereich ist falsch angegeben. Wo ist die Aufgabe her?

Answer 1

Hallo Dome,

(a)   log_b(ln(r)) = log_b(ln(a)) + log_b(x) 

(b)   4^x + 4 = 2^{x + 2} + 2^x

a)

log_b(ln(r)) = log_b(ln(a)) + log_b(x)    | - log_b(ln(a))  | b^...    |  ↔

\(\color{blue} { x= b^{(log_b(ln(r))-log_b(ln(a))}} \color{green}{ =b^{log_b(\frac { ln(r }{ ln(a) })}=\frac { ln(r) }{ ln(a) }}\)

b)

4^x + 4 = 2^{x + 2} + 2^x 

4^x + 4 = 2² · 2^x + 2^x

(2^x)² + 4 = 5 · 2^x

Setze z = 2^x

z² - 5z + 4 = 0    pq-Formel   →   z = 4  oder z = 1

2^x =  4   oder  2^x  = 1

x = 2  oder x = 0

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für eure Antworten!

zu b)

das heißt also, dass ich so rechnen kann (ich hoffe ich wähle den richtigen Logarithmus dafür)

2^x = 4  | log

x* log(2) = log(4)  | :log(2)

x = log(4)/log(2)

x = 2 ?

zu a)

logb(ln(r)) = logb(ln(a)) + logb(x)    | - lnb(ln(a)) 

= logb(x)   = logb(ln(r)) - lnb(ln(a))  | Definition von Logarithmus

Und dann komme ich auf den Ergebnis?

Richtig berechnet?

Falls das so ist, dann bedanke ich mich herzlich für eure Antworten!

---

x = log(4)/log(2) = log(2²) / log(2) = 2·log(2) / log(2) = 2

einfacher:

2^x = 4  ⇔  2^x = 2² ⇔ x = 2

a) lässt sich noch vereinfachen:

\( x= b^{(log_b(ln(r))-log_b(ln(a))} \color{green}{= b^{log_b(\frac { ln(r }{ ln(a) })}=\frac { ln(r) }{ ln(a) } }\)

(habe das in der Antwort ergänzt)

---

Hallo

2^x=2² warum dann noch log?

ebenso 2^x=2⁰?

wenn du unbedingt log verwenden willst dann log_{2, falsch ist deine Rechnung allerdings nicht!}

_{Gruß lul}

---

a) lässt sich noch vereinfachen:

Aber nicht so!

---

@ az

Danke, habe den Tippfehler korrigiert. Beim "Rumfummeln" in Latex-Termen mit cut&paste habe ich manchmal Probleme :-)

---

a) lässt sich noch deutlisch vereinfachen:

https://www.mathelounge.de/550639

Ich werde die verlinkte Aufgabe später mit dieser vereinen.

Answer 2

Hallo

 nimm auf beiden Seiten deiner Gleichung b hoch , dann hast du

ln(r)=x*ln(a)

 zur zweiten. 4^x=2^2x . 2^x+2=4*2x

 dann 2^x=z löse die quadratische Gleichung

dann log₂(z) oder ln(z) um x zu bestimmen

Gruß lul

Answer 3

log_b(ln(r)) = log_b(ln(a)) + log_b(x)
log_b( ln(r) ) = log_b ( ln(a) * x )
ln(r)  = ln(a) * x
x = ln(r) / ln(a)

Comments

Wie kommst du plötzlich von Logb zu ln?

Wieso kürzt sich das weg?

---

falls
log_b( y ) = log_b ( z )
ist dann ist
y = z

Falls
log_b( ln(r) ) = log_b ( ln(a) * x )
ist dann ist
ln(r) = ln(a) * x

falls
( 7 ) ^n = ( 3 + 4 ) ^n
ist dann ist
7 = 3 + 4

Falls
√ 48 = √ ( x + 2 )
dann ist
48 = x + 2

usw

---

Man nennt das Argumente-Vergleich beim ln.

Ebenso verwendet man den Exponentenvergleich und Radikandenvergleich, wie Georg schön gezeigt hat.

Das erspart oft Arbeit beim Lösen von Gleichungen. :)

Hör auf den Born,

er meint es gut mit dir.

Erspart in Mathe dir die Vier.

Mit ihm, dem großen Hexer,

Schreibst du niemehr einen Sechser.

Muss ja nicht ein Einser werden,

mit einer Zwei oder Drei lebt sichs gut auf Erden.

Ad maiorem gloriam Georgi! :))

A Hund is  er scho, unser Schorschi.

Wos er sagt, ist selten für die Katz,gell?

---

Ebenso verwendet man den Exponentenvergleich und Radikandenvergleich ... 

Was den "Radikantenvergleich" bei Wurzeln angeht, ist bzgl. der Äquivalenz solcher Umformungen Vorsicht geboten!

---

@andreas
Ja mein idealer Lebenszweck ist Borstenvieh und Schweinespeck.

---

Wir gehen ja von b, y, z > 0 aus

log_b(y) = log_b(z)

ln(y) / ln(b) = ln(z) / ln(b)

ln(y) = ln(z)

Answer 4

a)

LN(LN(r))/LN(b) = LN(LN(a))/LN(b) + LN(x)/LN(b)

LN(LN(r)) = LN(LN(a)) + LN(x)

LN(LN(r)) = LN(x·LN(a))

LN(r) = x·LN(a)

LN(r) = LN(a^x)

r = a^x

a^x = r

Comments

Cool, schöner als die Lösungen neulich!

---

Geht nur so sauber wenn man z.B. r > 1 annimmt und nicht r > 0.

Hab die neulich nicht mitbekommen, habe sie aber gerade rausgesucht

https://www.mathelounge.de/550124/komplizierte-logarithmusgleichung-nach-x-auflosen

Answer 5

ohne Substitution:

\(4^{x} + 4 = 2^{x+2} + 2^{x}\)

\((2^{x})^{2}+4=2^{2} \cdot 2^{x} + 2^{x}  \)

\((2^{x})^{2}+4=4 \cdot 2^{x} + 2^{x} =5 \cdot 2^{x} \)

\((2^{x})^{2}-5 \cdot 2^{x} =-4 \)  quadratische Ergänzung:

\((2^{x})^{2}-5 \cdot 2^{x}+(\frac{5}{2})^2 =-4+(\frac{5}{2})^2 \)  2.Binom:

\((2^{x}-\frac{5}{2})^2 =2,25|±\sqrt{~~} \)

1.)

\(2^{x}-\frac{5}{2}=1,5\)

\(2^{x}=4\)

\(x_1=2\)

2.)

\(2^{x}-\frac{5}{2}=-1,5\)

\(2^{x}=1\)

\(x_2=0\)