Question

Integration.  Wieso x/(x-4) aufteilen zu 1 + 4/(x-4) ?

ich habe 

als Rechenweg mit Lösung erhalte ich 

Laut Integral Rechner:

Aber wieso schreibe ich x als x-4 +4 ? Und warum teile ich es auf? Es wäre nett wenn mir jemand dies erklären könnte, wieso ich dies hier anwenden sollte.

Answer 1

∫ x / ( x - 4 ) dx
hier soll von x / ( x - 4 ) die Stammfunktion
gebildet werden. Dies geht am einfachsten mit
Trick 17.
x / ( x - 4 ) = ( x - 4 + 4 ) / ( x - 4 )
Stimmts ?
Jetzt ziehst du auseinander zu
( x - 4 ) / ( x - 4 )  + 4 / ( x - 4 )
kürzen
1 + 4 / (  x - 4 )
Dann kann getrennt aufgelitten werden.
∫ 1 + 4 / (  x - 4 ) dx
x + 4 * ln(x-4)

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.
Die Richtigkeit einer Aufleitung kann durch
probeweies Ableiten verifiziert werden.

Comments

Danke für die gute Antwort. Woran erkenne ich das ich am besten der Trick 17 anwenden sollte und keinen anderen?

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Es gibt auch andere Vorgehensweisen diese
Funktion aufzuleiten, aber du hast ja nach
einer Erklärung für diese Vorgehensweise gefragt.

Diese Vorgehensweise bietet sich auch nur bei
bestimmten Funktionen an.

Answer 2

Hallo

 ganz einfach, weil man das Integral von 1 und das Integral von 1/(x-4) kennt, aber es keine andere einfache Methode gibt, das Integral zu lösen.

du kannst auch statt die +4-4 zu ergänzen

 einfach x:(x-4)=1+4/(x-4) rechnen. Wenn im Zähler und Nenner Polynome  (hier ja sehr einfache) stehen ist es oft günstig zu dividieren, bis das Zählerpolynom kleineren Grad hat als das Nennerpolynom eben  um das Integral zu vereinfachen.

Gruß ledum

Answer 3

Aber wieso schreibe ich x als x-4 +4 ? Und warum teile ich es auf?

Weil dann eine Summe von elementaren Funktionen steht, deren Stammfunktionen du summandenweise bestimmen kannst. Mit dem Trick löst sich das ganz einfach. Ansonsten kannst du auch z=x-4 substituieren, kommt auch aufs selbe hinaus.

Answer 4

Integration.  Wieso x/(x-4) aufteilen zu 1 + 4/(x-4) ?

Weil du bisher keine Stammfunktion für f(x) = x/(x-4) gelernt hast, musst du dir etwas einfallen lassen, das du integrieren kannst.

g(x) = 1 ist kein Problem

h(x) = 4/(x-4) kannst du mit  einem ln auch schon integrieren .