Vollständige Induktion..?

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie für reelle Zahlen \( q \) und natürliche Zahlen \( i \)

\( q^{i}=1+(q-1) \sum \limits_{j=0}^{i-1} q^{j} \)

b) Beweisen Sie mittels a): Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme bei der Dezimaldarstellung durch 9 teilbar ist.

Ich denke, man muss eine vollständige Induktion machen, doch es klappt nichts...

Comments

Zeige, dass es für i=1 gilt:

q^i = 1 + (q - 1) * Σ (j=0 bis i-1) (q^j)

q^1 = 1 + (q - 1) * Σ (j=0 bis 1-1) (q^j)
q = 1 + (q - 1) * 1
q = q

Damit ist der Induktionsanfang gemacht.

Machst du jetzt mal den Induktionsschritt. Also zu zeigen das es für i + 1 gilt. wenn es für i gilt?

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Das hab ich nach langem Überlegen und studieren des Skriptes auch so geschafft...

Hänge jetzt an:

qⁱ⁺¹ = 1 + (q - 1) * (j=0 bis i+1-1) (q^j)

qⁱ⁺¹ = 1 + (q - 1) * (j=0 bis i) (q^j)

 

Im Skript (ähnliches Beispiel) gehen wir "nach IA" vor und haben irgendwoher ganz komsiche Zahlen... ich kann es nicht nachvollziehen

Answer 1

man braucht bei a) gar keine Induktion. Es lässt sich direkt zeigen, indem du die Formel umstellst nach:

\( q^i - 1 = (q - 1) \sum_{j = 0}^{i-1} q^j \).

Wenn du nun rechts noch ausmultiplizierst, entsteht eine sogenannte "Teleskopsumme" und du bekommst am Ende

\( q^i - 1 = q^i - 1 \),

also eine wahre Aussage.

MfG

Mister