Basis bestimmen damit die darstellende Matrix in Jordan Normalform ist

Question

Ich soll eine Basis bestimmen, sodass die darstellende Matrix von f in Jordan Normalform ist. Es gelte ℝ⁵=V ⊕ι^-1(W^⊥)

B=( -1,1,1,-1,0)

      -1,1,1,-1,0

     -2, 1 -1,0,1

     -1 0 -1,0,1

    -3,2,0,-1,1

Ich habe schon das charakteristische Polynom berechnet. Das ist -x⁵ und das Minimalpolynom ist m=x³. Weiter ist Rang B=3 also dim(V1)=2 und Rang(A²)=4 also dim(V2)=1 und Rang(A³)=5 also dim(V3)=5. Doch wie mache ich jetzt weiter?

Es ist doch ℝ⁵=V2⊕W3 aber dann gilt ja nicht ℝ⁵=V1⊕W2⊕W3 weil ich doch V2 gar nicht mit Hilfe von V1⊕W2 darstellen kann? Oder wo liegt mein Fehler und wie mache ich weiter?

Comments

Ich habe die gleiche Aufgabe und wäre auch sehr dankbar über einen Tipp.

Kann uns jemand weiterhelfen?

---

Also ich kann vielleicht ein bisschen weiterhelfen. Du hast Rang(A²)=4 also dim(V2)=1 vertauscht. Es muss heißen dim(v2)=Kern(A²)=4. 

Answer 1

  Beginnen wir mit dem Kern deiner Matrix,

       x  -      y  -  z  +  w         =  0            (  1b  )

   2  x  -      y  +  z          -  u  =  0           (  1c  )

       x             +  z         -  u  =  0           (  1d  )

   3  x  -  2  y  +  z         -  u  =  0            (  1e  )

       Kürzen wir in  (  1d  )  ab

      q  :=  x  +  z  -  u  =  0            (  2d  )

      so folgt in  (  1c  )

      q  +  x  -  y  =  0  ===>  x  -  y  =  0  ===>  x  =  y        (  2c  )

    und das eingesetzt in ( 1b )

      w  =  z           (  2b  )

     (  Die Gleichungsnummern  b-e  halte ich konsistent. )

    Schließlich führt ( 2b-d ) auf die beiden Kernvektoren

    e1  =  (  1  |  1  |  0  |  0  |  1  )          (  3a  )

    e2  =  (  0  |  0  |  1  |  1  |  1  )          (  3b  )

   Unser Ansatz befriedigt alle fünf Gleichungen.  Was Onkel Jordan sucht, bezeichnet man in der Matematik als  ===>  Auflösung und hat Geschichte geschrieben bei den Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen.  Welche Vektoren v1;2  lösen   das  LGS

    B  v1;2  =  e1;2         (  4  )

    ( 1b-e )  heißen jetzt

     x - y - z + w = 1      (  5b  )

     x  -  y  +  q  =  0     (  5c  )

     q  =  0         (  5d  )

    2  (  x  -  y  )  +  q  =  1    (  5e  )

   Keine Lösung; Widerspruch.  Aus ( 5c ) würde ja folgen ( x - y = 0 ) , während du in ( 5e ) hast ( x - y = 1/2 )  e1   liegt also  im Kern, nicht aber im Bild von B und wird gleich bei der ersten Anwendung von B platt gemacht.

   Ich schicke erst mal ab, weil mein PC nächtens immer von Stunden langen Backups belästigt wird.  Wenn ich weiter für dich arbeiten soll, brauch ich den Link - sonst komm ich hier nicht mehr rein.

Comments

Aber bei mir ist der Kern von A schon leicht anders. Ich habe A in Zeilenstufenform gebracht. Dann erhält man

-1  1  1 -1  0

 0  -1 -3 2  1

 0   0  1 -1 0

 0   0   0  0 0

  0  0   0   0 0

Jetzt habe ich davon den Kern berechnet und erhalten

v1=(-1,-1,1,1,0), v2=(1,1,0,0,1) als Kern.

Also meine Gleichungen sind anders als deine. Ich weiß nicht wie du auf 1b-1e kommst

---

Ich habe die Aufgabe übrigens fertig. Die JNF  ist meiner Meinung nach

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0