Hi, folgende Aufgabe:
$$Berechnen\quad sie\quad das\quad Integral\\ \qquad \qquad \qquad \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \int _{ R }^{ }{ \frac { 1 }{ { 4x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2y+1 } } dxdy\\ mit\quad R:=\quad \left\{ \left( x,y \right) ∈{ R }^{ 2 }\quad |1\quad ≤\quad 4{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2y+1\quad ≤\quad 25,\quad x\quad ≥\quad 0 \right\} \quad unter\quad Verwendung\quad der\quad Koordinatentransformation\quad x\quad =\quad \frac { r }{ 2 } \cos { (\varphi )\quad } und\quad y\quad =\quad r\sin { (\varphi ) } -1\quad $$
Wenn man R skizziert erhält man eine Menge innerhalb einer halben Ellipse bei x>0.
Analog zur Transformation von kart. zu Polarkoordinaten habe ich r und theta bestimmt: 0<=r<=1 und -pi/2<=theta<=pi/2,
wenn ich nur x= r/2 cos(phi) und y= rsin(phi)-1 einsetze erhalte ich:
$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ k*\frac { 1 }{ { r }^{ 2 }+2r\sin { (\theta ) } -1 } } d\theta dr } $$ Das kann aber hoffentlich nicht stimmen?
Ist k hier wie bei der Polarkoordinatentransformation auch einfach r? Wenn nein wie bestimme ich k? mit k^2=x^2+y^2?
Lösungshinweise und -vorschläge sind sehr erwünscht!
Grüße
