Differentialrechnung

Question

Der größte Zylinder in einem geraden Kelgel

Ein gerader Kreiskegel hat den festen Radius R und die feste Höhe H. Im Kreiskegel soll ein Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h, so wie abgebildet, einbeschrieben stehen. Wie müssen die Zylindermaße r und h gewählt werden damit das Zylindervolumen V maximal wird ?

Hilfen: Zylindervolumen Vzyl=pi r^2 h

Answer 1

Zeichne eine Seitenansicht von Zylinder und Kegel in der Ebene. Dann gilt (H-h)/r=H/R. Löse nach h auf und setze in das Zylindervolumen ein. Dann hängt V_Zyl nur noch von r ab, ist also eine Funktionsgleichung mit der unabhängigen Variablen r. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung und suche das Maximum heraus (zweite Ableitung negativ an der Stelle des Maximums).