Question

log₄(log₂x–1)=log₁₆9

kann mir jemand beim lösen von diesem logarithmus helfen? ich habe generell grosse Schwierigkeiten bei diesem Thema und sehe überhaupt nicht, wie man darauf kommen soll

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Es gibt dort folgendes Logarithmusgesetz, das dir nun sehr weiterhilft:$$\log_{a^y}{b^x}=\frac{x}{y}\cdot \log_{a}{b}$$ Versuche einfach mal den Index sowie den Numerus von $\log_{16}{9}$ in eine Potenz zu schreiben.

Und schreib mal, ob du:$$\log_{4}{(\log_{2}({x})-1)}=\log_{16}{9}$$ ODER$$\log_{4}{(\log_{2}({x-1}))}=\log_{16}{9}$$ meinst.

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in der aufgabenstellung steht ausserdem, dass ich keinen Taschenrechner benutzen soll

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ich meine die zweite variante

Answer 1

Es gibt dort folgendes Logarithmusgesetz, das dir nun sehr weiterhilft:$$\log_{a^y}{b^x}=\frac{x}{y}\cdot \log_{a}{b}$$Versuche einfach mal den Index sowie den Numerus von $\log_{16}{9}$ als eine Potenz zu schreiben:$$\log_{4}{(\log_{2}({x-1}))}=\log_{16}{9}$$ Die $16$ kann man umschreiben zu $2^4$ umschreiben und $9$ zu $3^2$. Siehe oben das Potenzgesetz und wandle um:$$\log_{4}{(\log_{2}({x-1}))}=\frac{2}{4}\cdot \log_{2}{3}$$ Nun wende folgendes an:$$\log_{a}{x}=b \quad \text{wird zu} \quad x=a^b$$$$\log_{2}({x-1})=4^{\frac{2}{4}\cdot \log_{2}({3})}$$ Rechne nun $4^{\frac{2}{4}}$ aus. Du erhältst nun:$$\log_{2}({x-1})=2^{ \log_{2}({3})}$$ Du weißt nun, dass $2^{ \log_{2}({3})}=3$.$$\log_{2}({x-1})=3$$ Wende nun wieder das obengenannte Gesetz an und erhalte.$$x-1=2^3$$$$x-1=2^3 \quad |+1$$$$x=9$$

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Man könnte die rechte Seite auch so vereinfachen:
$$\log_{16}{9} = \dfrac{\log_{4}{9}}{\log_{4}{16}} = \dfrac{\log_{4}{3^2}}{\log_{4}{4^2}} = \dfrac{2\cdot\log_{4}{3}}{2\cdot\log_{4}{4}} = \log_{4}{3}$$Dann kann man $\log_4$ auf beiden Seiten weglassen (ist ja eine Bijektion) und ist schon bei
$$\log_{2}({x-1})=3$$