Punktsymmetrie zum Ursprung

Question

F(x)=x^5-1 ist auch punktsymmetrisch weil f(-x)=-f(x) oder ist das hier eine Ausnahme weil der Scheitelpunkt nicht (0,0) ist und somit der y-achsenabschnitt verschoben ist und dadurch punktysymmetrisch zu einem beliebigen Punkt?

Answer 1

g(x)=x^5 ist Punkt symmetrisch zu (0,0)

f(x)=x^5 -1 ist dieselbe Funktion um eins nach unten verschoben, daher punktsymmetrisch zu (0,-1)

Answer 2

F(x)=x⁵-1 ist auch punktsymmetrisch

Ja, aber nicht zum Ursprung, sondern zum Punkt (0|-1).

weil f(-x)=-f(x)

Das gilt bei Punktsymmetrie zum Ursprung. Hier gilt es aber nicht, zum Beispiel

    F(-1)  = (-1)⁵ -1 = -2 ≠ 0 = -(1-1) = -(1⁵-1) = -F(1).

Answer 3

F ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

$$ f(-x)=(-x)^5-1=-x^5-1\neq-x^5+1=-(x^5-1)=-f(x) $$

Das liegt daran, dass hier nicht nur ungerade Exponenten vorkommen. Punktsymmetrie liegt bei Polynomen nur mit ungeraden Exponenten vor und Achsensymmetrie zur y-Achse, wenn nur gerade Exponenten vorkommen.