Zu 1) Kennst du den Unterschied zwischen Zielmenge bzw. Wertebereich einerseits und Bild einer Funktion andererseits? Selbst Studienräte haben da Schwierigkeiten mit. Einmal habe ich hier sogar auf Matelounge einen Prof ertappt, der das in seinem Aufgabenblatt verwechselt hatte.
Mir Frankfotter habbe da en geile Witz. Waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese; in Sachsehause? Uffn ===> Affetorplatz?
Sitzt e klaa Äffsche uff die Palm in Urwald. Unn rings konzentrisch kimmt e konzentrisch Feuerwalz uff des Äffsche auf zu. Wie soll sisch des Äffsche in Sischerheit bringe?
Antwort: Woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's degroße Aff net weiß?
So viel zu Profs und Lehrern.
Rein aus der Erfahrung weiß ich: Wurzeln sind von Übel; also quadrieren wir deine Wurzel mal weg.
y = sqr ( x ² - 2 x - 3 ) | ² ( 1a )
y ² = x ² - 2 x - 3 ( 1b )
Bist du gut in ===> quadratischer Ergänzung?
y ² = ( x - 1 ) ² - 4 ( 2a )
( x - 1 ) ² - y ² = 4 ( 2b )
Überlegen wir. Eine ===> quadratische Form ist immer ein ===> Kegelschnitt; stünde in ( 2b ) " Plus " statt " Minus " , so würde es sich um einen (Halb)kreis handeln:
( x - 1 ) ² + y ² = R ² = 4 ( 3a )
ist ein Kreis mit Radius R = 2 um den Mittelpunkt
( x0 | y0 ) = ( 1 | 0 ) ( 3b )
Und bei ( 2b ) sind es ( die beiden Äste ) einer ( gleichseitigen ) Hyperbel.
Mir scheint es doch nahe liegend , erst Frage 2) nach dem Definitionsbereich zu beantworten. Der Kreis in ( 3a ) besitzt offensichtlich Achsensymmetrie gegen x = 1 , y = 0 . Und bei der Hyperbel ( 2b ) ist es genau so.
Der Definitionsbereich des Kreises ergibt sich ganz natürlich, indem du von x0 = 1 ausgehend, R = 2 einheiten nach Links und Rechts gehst:
D ( Kreis ) = [ - 1 ; 3 ] ( 4a )
Und bei der Hyperbel analog. Achtung; hier steht y im Subtrahenden. Ergo a tego kann y jeden beliebigen Wert annehmen; die Hyperbel " steht " in Bezug auf unser x/y_Koordinatensystem ( Gegensatz: liegende Hyperbel. ) Der Term ( x - 1 ) kann gerade nicht jeden Wert annehmen; der Definitionsbereich ist komplementär zu ( 4a )
D ( Hyp ) = { x | x < = ( - 1 ) v x > = 3 } ( 4b )
wir haben eine Definitionslücke. Im Sinne der ===> Topologie bildet die Kreislinie eine ===> zusammen hängende Menge; die beiden Äste einer Hyperbel sind unzusammenhängend .
Und jetzt zu 1) ; wir hatten gesagt, wir intressieren uns ausschließlich für die positive Wurzel. Der Kreis wird ja nur dann zu einer eindeutigen Funktion, wenn du dich auf den oberen Halbkreis beschränkst; genau so hier wird alles von der Hyperbel unterhalb der Abszisse abgehobelt. Was dann noch stehen bleibt, ist eine ziemlich verlorene Rumpfhyperbel.
Nach dieser gründlichen Arbeitsvorbereitung können wir uns auch der Lösbarkeit zuwenden. Für y < 0 ist y = f ( x ) nicht lösbar; das hatten wir ja bewusst so eingerichtet. Ansonsten wirst du immer zwei Lösungen haben symmetrisch zu x0 = 1 , weil wir ja zwei Äste haben, die gegen diese Spiegelachse symmetrisch verlaufen.
Zu 3) ; kannst du schon ===> differenzieren ( ableiten ) ? Schüler, die noch keine Differenzialrechnung drauf haben, sehen die Matermatik an mit den Augen eines Kindes, das noch an den Klapperstorch glaubt. Um nämlich Frage 3) zu beantworten, müssen wir uns allererst überzeugen, dass deine Hyperbel streng monoton verläuft. In ( 2b ) bietet sich ===> implizites Differenzieren ( ID ) geradezu an ( Kettenregel beachten )
x - 1 + y y ' = 0 ( 5 )
die Metode heißt ja gerade deshalb ID , weil nirhends nach x umgestellt wird. In ( 5 ) setzen wir sang-und klanglos y ' = 0 , um die Extremata zu ermitteln und landen bei x_ext = 1 im widerspruch zu zu ( 4b )
f ( 3 ) = 0 - das hatten wir schon. Jetzt in ( 2b ) einsetzen
( 6 - 1 ) ² - [ f ( 6 ) ] ² = 4 ===> f ( 6 ) = sqr ( 21 ) ( 6a )
f [ 3 ; 6 ] = [ 0 ; sqr ( 21 ) ] ( 6b )
