Die Matrix \(A_6\) sieht zum Beispiel so aus (inklusive ein paar Hilfslinien):
$$A_6 = \left( \begin{array}{cccc|c|c}1& -1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& -1& 0& 0& 0\\ 0& 4& 1& -1& 0& 0\\ 0& 0& 9& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 16& 1& -1\\ \hline 0& 0& 0& 0& 25& 1\end{array} \right)$$
Entwickle die Determinante nach der letzten Zeile. Dort steht nur die \(25\) bzw. allgemein \((n-1)^2\) und die \(1\). Dann ist $$\det(A_n) = -(n-1)^2 \cdot \det(X) + \det(A_{n-1})$$ Die Determinate von \(X\) kann man nun aus der rechten Spalte dieser Matrix entwickeln. Da steht nur die \(-1\). Demnach ist $$\det(X) = (-1) \cdot \det(A_{n-2})$$ Einsetzen in obige Gleichung gibt: $$\begin{aligned} \det(A_n) &= -(n-1)^2 \cdot (-1) \cdot \det(A_{n-2}) + \det(A_{n-1}) \\ &= \det(A_{n-1}) + (n-1)^2 \cdot \det(A_{n-2}) \end{aligned}$$
Der Induktionsanfang für zwei auf einander folgende Werte für \(n\) ist schnell gezeigt: $$\det(A_1) = 1 = 1!; \quad \det(A_2) = \left| \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \right|= 2 = 2!$$ Einsetzen in die Gleichung für \(\det(A_n)\)
$$\begin{aligned} \det(A_n) &= \det(A_{n-1}) + (n-1)^2 \cdot \det(A_{n-2}) \\ &= (n-1)! + (n-1)^2 \cdot (n-2)! \\ &= \left( (n-1) + (n-1)^2)\right)(n-2)! \\ &= \left( 1 + (n-1)\right) (n-1)! \\ &= n!\end{aligned}$$ q.e.d.
