Für welche a,b ist f ein Gradientenvektorfeld?

Question

Bei folgender Aufgabe brauche ich Hilfe:

Gegeben ist f(x,y,z):= (x²+xy, x²/2+y+az, by)^T. Für welche a, b aus ℝ ist f ein Gradientenvektorfeld?

Wie gehe ich dabei vor? Setze ich ein mal für a und b 0 ein und probiere es dann weiter mit 1, 2, 3, ... oder gibt es einen einfacheren Weg?

Danke für die Hilfe schon mal!

Answer 1

es gilt die Integrabilitätsbedingung. In diesem Fall muss u.a. $$\frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial F_z}{\partial y}$$ sein. Hier ist $$F_y = \frac12 x^2 + y + az \quad \text{und} \quad F_z = by$$ und damit $$\begin{aligned} \frac{\partial F_y}{\partial z} &= a \\  \frac{\partial F_z}{\partial y} &= b\end{aligned}$$ Somit ist \(f(x,y,z)\) genau dann ein Gradientenfeld wenn \(a=b\) ist. Bem.: die anderen Bedingungen sind unabhängig von \(a\) und \(b\) erfüllt.

Comments

Das scheint ja doch einfacher zu sein als gedacht.