1.Kann ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten im Fall m < n
genau eine Lösung besitzen?
Nein, denn wenn du den Gauss-Algorithmus anwendest, erhältst du ja bei genau einer
Lösung immer eine Stufenform, bei der auf der Hauptdiagonalen keine 0en stehen.
Wenn du ein Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen durch Zeilen mit lauter
0en ergänzt, ändert sich die Lösungsmenge nicht, aber du hast 0en auf der Hauptdiagonale, also
gibt es unendlich viele oder keine Lösung.
2.Kann ein homogenes lineares Gleichungssystem genau eine nichttriviale Lösung haben?
Nein, denn wenn es genau eine Lösung hat, ist das immer die triviale. Gibt es eine nichttriviale
Lösung, so ist das also immer mindestens die zweite, es gibt dann sogar unendlich viele, nämlich
z.B. alle Vielfachen der nichttrivialen.
3.Kann ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten im Fall m > n
unendlich viele Lösungen besitzen? Ja, einfacher Fall wäre :
1*x +0*y = 0
2*x + 0*y = 0
3*x + 0*y = 0
Lösungen sind alle Paare ( 0 ; t ) mit t ∈ℝ.
