Wahrscheinlichkeitsrechnung - Alkoholtest an Silvester

Question

benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ein Labor hat einen Alkohol-Test entworfen. Aus den bisherigen Erfahrungen weiß man, dass an Silver 60 % der von der Polizei kontrollierten Personen tatsächlich getrunken haben. Bezüglich der Funktionsweise des Tests wurde ermittelt, dass...

..in 95 % der Fälle der Test Positiv anzeigt, wenn die Personen tatsächlich getrunken hat,

...in 97 % % der Fälle der Test Negativ anzeigt, wenn die Person tatsächlich nicht getrunken hat.

a) Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass bei einer getesteten Person an Silvester der Test "Positiv" anzeigt?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an Silvester tatsächlich getrunken hat, wenn der Test "Positiv" anzeigt?

Bei der a) kam ich durch Zufall auf das Ergebnis, indem ich 0,60 * 0,97=0,582 (Nur glück? ist richtig lt. Lösung)

Verstehe aber ehrlich nicht wieso. Kann mir das jemand erklären, warum man so rechnet?

Und bei der b) habe ich gar keinen Ansatz...

Wäre super dankbar für Hilfe!

Vielen Dank und Grüße

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https://wortwuchs.net/schreibweise/sylvester-silvester/

Answer 1

	Betrunken	Nicht betrunken
Test positiv	0,57	0,012	0,582
Test negativ	0,03	0,388	0,418
	0,6	0,4	1

a) P(positiv)=0,582=58,2%

b) P(betrunken|positiv)=0,57/0,582=0,979381≈97,94%

Comments

koffi123 hat das richtig beantwortet

Bei der a) kam ich durch Zufall auf das Ergebnis, indem ich 0,60 * 0,97=0,582 (Nur glück? ist richtig lt. Lösung)

Das ist nur Glück und dafür gibt das keine Punkte.

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Vielen, vielen Dank.
Geht das nur über die Tabelle, oder gibt es noch einen anderen Weg?

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Du kannst genauso gut ein baumdiagramm dazu malen.

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Es geht auch über ein Baumdiagramm oder den Satz von Bayes.

Ich persönlich denke aber das die Vierfeldertafel der einfachste Weg ist.

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Danke.

Könntest du es eventuell mit dem Satz von Bayes zeigen?

Glaube es war gewollt, dass wir den da anwenden, bzw. das vorgehen beschreiben, denn ich komme einfach nicht drauf ;(

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P(positiv) = 0.6·0.95 + 0.4·0.03 =  0.582

P(betrunken | positiv) = P(betrunken ∩ positiv) / P(positiv) = 0.6·0.95 / 0.582 = 0.9793814432

Den Satz von Bayes habe ich mal FETT geschrieben.

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Benutzt du für die a) den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit?

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Ja genau.

P(B) = P(B | A) + P(B | nicht A)