BEstimmen aller Lösungen einer Gleichung mit Komplexen Zahlen

Question

Ich habe eine Gleichung für die Ich alle Lösungen bestimmen soll allerdings häng ich an einer Stelle ein wenig fest. Zuerst die Gleichung:

$$x^6+27\sqrt{2}*x^3+729=0$$

$$x^3=z$$

$$z^2+27\sqrt{2}*z+729=0$$

Jetzt hab ich mit der Quadratische Ergänzung weiter gemacht und kam bis zum Punkt.

$$\sqrt[3]{i*\frac{27*\sqrt{2}}{2}-\frac{27*\sqrt{2}}{2}}=x$$

Hier bin ich mir nicht sicher wie ich die 3. Wurzel löse, ich könnte es so schreiben

$$\sqrt[3]{(i-1)}*\sqrt[3]{(\frac{27*\sqrt{2}}{2})}=x$$

allerdings wüsste ich ab hier auch nicht mehr weiter ..

.

MfG Pascal

Answer 1

zuerst alle 6 Lösungen, dann meine Rechnung:

Fall a) hier habe ich nur eine Lösung als Beispiel berechnet,

es fehlen noch 2 Lösungen

Fall b) ist analog , wie Fall a zu berechnen , also 3 weitere Lösungen

x₁≈ 2.1213 - 2.1213 i

x₂≈ -2.8978 - 0.7765 i

x₃≈ 0.7765 + 2.8978 i

x₄≈ 2.1213 + 2.1213 i  → (3/2) √ 2 + i (3/2) √ 2

x₅≈ 0.7765 - 2.8978 i

x₆≈ -2.8978 + 0.7765 i

Answer 2

Hallo

immer zum Potenzieren oder Wurzel ziehen scheibt man z in der Form z=r*e^{iφ+k*i*2π} also i-1=2*e^{i*(3π/4+k*2π)}, k=0,1,2

du brauchst aber auch noch die 2te Lösung von z, damit du insgesamt 6 Lösungen für x hast.

Gruß lul