Bestimmen Sie die rationale Normalform sowie die Jordan-Normalform der Matrix

Question

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die rationale Normalform sowie die  Jordan-Normalform der Matrix

A= (-4  2  10

      -4  3   7

       -3  1  7 )

Die Jordan-Normalform habe ich bereits berechnen:

J = (2  1  0

      0  2  1

      0  0  2)

Nun weiß ich jedoch nicht wie man die rationale Normalform berechnet.

Comments

Deine Jordan-Normalform ist schon mal richtig.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((-4+,+2+,+10),(++++++++-4+,+3+,++7+),+(++++++++-3,++1+,+7+))

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Vom Duplikat:

Titel: Rationale Normalform einer Matrix ermitteln. EDIT: Nur noch Aufgabe a) .

Stichworte: normalform,matrix,jordan

ich brauche eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

a) A=((-4,2,10),(-4,3,7),(-3,1,7)) Zu dieser 3x3 Matrix habe ich jetzt die JNF ermittelt, die lautet ((2,1,0),(0,2,1),(0,0,2)) und das Minimalpolynom lautet f(x)=(x-2)³. Somit würde laut meiner Meinung die rationale Normalform wie folgt lauten: A=((0,0,8),(1,0,-12),(0,1,6)). Allerdings hat mein Tutor in der Übung gemeint sie müsste anders lauten und zwar A=((0,0,-8),(1,0,12),(0,1,-6)). Hier sind die Vorzeichen in der letzten Spalte genau vertauscht. Jetzt bin ich leider voll verwirrt und weiß nicht was stimmt, weil meiner Meinung nach müssen die Vorzeichen des Minimalpolynoms vertauscht werden, sodass also meine Lösung richitg ist. Oder irre ich mich da?

b) B=(3,0,8,2),(3,-1,6,0),(-2,0,-5,0),(0,0,0,-1)). Bei dieser Aufgabe verstehe ich die JNF nicht. Es ist dim(Kern(B))=2, somit würde bei mir die JNF wie folgt aussehen:

JNF=((-1,1,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,0,-1). Allerdings ist das laut Übung falsch, doch wir haben die Lösung nicht  bekommen. Kann mir da auch jemand weiterhelfen und sagen, warum ich das nicht mit dem Kern bestimmen kann und wie ich das stattdessen machen muss?

Danke für eure Hilfe schon mal!!!!

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Also die Aufgabe b hat sich erledigt, ich muss noch den Kern der Hauptvektoren ausrechnen und kann erst dann die JNF bestimmen. Sorry da hatte ich einen Denkfehler.

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Aber bei a wäre ich dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte

Answer 1

Ich bräuchte ebenfalls Hilfe bei der ersten Aufgabe. Die Jordan Normalform habe ich auch noch hinbekommen und mit der rationalen Normalform meinst du doch die Frobenius Form oder?

Also laut unserer Übung muss die Matrix ((0,0,-8),(1,0,12),(0,1,-6) ) herauskommen. Leider hätte ich die Vorzeichen der letzten Spalte immer vertauscht weil mein Minimalpolynom lautet f(x)=x³-6x²+12x-8 und um die Frobenius Normalform zu erhalten muss man doch das Vorzeichen vertauschen oder?

Wäre toll wenn mir jemand sagen könnte wo mein Denkfehler liegt und wieso die Frobenius Form wie oben angegeben lauten muss

Comments

mit der rationalen Normalform meinst du doch die Frobenius-Normalform, oder?

Ich hoffe, dass der Gast vom 3. Juli das noch weiss. Normalform kann allerhand bedeuten.

@Heidiii: Im Link, den ich angegeben habe, wird das charakteristische Polynom auch angegeben, wie du das hast. Link nochmals:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((-4+,+2+,+10),(++++++++-4+,+3+,++7+),+(++++++++-3,++1+,+7+))

usw. vgl. Link.

Nun hast du dafür gesorgt, dass dein Polynom mit x^3 beginnt. Kontrolliere nochmals mit deinen Unterlagen, was da nötig ist für die letzte Spalte.

Frobenius-Normalform müsste so aussehen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Frobenius-Normalform

Die Einsen in so einem Block sind unterhalb der Hauptdiagonalen.

Die Vorzeichen in der Wikipedia sind so, wie im Wolframalpha-Link. Unterscheiden sich aber von denen in deinem charakteristischen Polynom, das mit x^3 beginnt.

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Ok, vielen Dank. Wir haben zu diesem Thema leider nichts im Skript aufgeschrieben, weil die Zeit am Ende des Semesters gefehlt hat, deshalb finde ich das ganze aus so verwirrend.

Ich denke dann haben wir das in der Übung wohl falsch gemacht bzw. mein Tutor hat das ganze falsch korrigiert.

Die Frobenius Form muss dann meiner Meinung nach doch so heißen:

(0  0  8

 1  0  -12

 0  1  6)

weil ich das Minimalpolynom separat ausgerechnet habe. Außerdem ist das doch ein charakteristisches Polynom dritten Grades dann gilt aufgrund der ungeraden Hochzahl doch auch charakteristisches Polynom= - Minimalpolynom oder? Oder ist das nur der Fall, wenn null der einzige Eigenwert ist und gilt dann hier charakteristisches Polynom= Minimalpolynom?

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Dein Kommentar passt nun zur Frobenius-NOrmalform, wie sie in der Wikipedia angegeben ist.

So kommst du auf eine Blockmatrix mit Blöcken in der Hauptdiagonalen bei grösseren Matrizen.

Was eine rationale Normalform ist, wissen wir aber nicht. Ausserdem schreiben in den "ähnlichen Fragen" andere auch reelle Normalform.

Ich finde es aber äusserst fragwürdig, dass ihr hier Normalformen erstellen sollt, von denen ihr nicht einmal wisst, wie sie heissen, geschweige denn, wofür sie gut sein sollen.

EDIT: Habe den Kommentar von Heidi in eine Antwort umgewandelt, damit klar ist, was zusammengehört. Das heisst aber nicht, dass jemand anders noch eine bessere Antwort findet. Die ursprüngliche Frage darf immer noch beantwortet werden. 

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Ja bei mir heißt sie auch auf jeden Fall Frobenius Normalform. Aber habe ich sie dann oben jetzt richtig angegeben?

Bin jetzt immer noch etwas verwirrt, weil mein Übungsgruppenleiter das als falsch markiert hat.

Es gilt doch hier auch dass das charakteristische Polynom = - Minimalpolynom ist oder? Weil wir eine 3x3 Matrix haben und drei ungerade ist.

Nur bei geraden Zahlen stimmen doch charakt. Polynom und MP überein oder?

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Nur bei geraden Zahlen stimmen doch charakt. Polynom und MP überein oder?

Du meinst, wenn es sich um eine Blockmatrix mit einer geraden Anzahl Spalten und Zeilen handelt?

Mache daraus am besten noch eine eigene Frage. Das beantwortet besser jemand, der den Stoff gerade präsent hat.

Ja bei mir heißt sie auch auf jeden Fall Frobenius Normalform.

Auch danach kannst du spezifisch fragen, damit man nicht lange rumraten muss.

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Ok danke dann mache ich das. Aber meinst du mein Frobenius Form könnte auch stimmen?

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Hallo Heidi,

die Idee ist gut. Nur, wenn du bei : https://www.mathelounge.de/567917/blockmatrix-geraden-charakteristisches-minimalpolynom einen Rückverweis auf diese Diskussion hinschreibst, zwingst du die Leute trotzdem sich durch alle möglichen unnütigen Diskussionen zu kämpfen. Das hat wenig Erfolgsaussichten. Ich hoffe es erbarmt sich jemand.

Gemeint war eine einfache kurze und vollständig präzise eigenständige Frage nach Frobenius.