Bestimmen Sie die Jordan-Normalform der Matrix

Question

Hallo, ich habe mal eine allgemeine Frage zur Jordan Normalform.

Wenn ich eine 4x4 Matrix gegeben habe, dessen Eigenwerte 1 und -1 sind, dann trage ich ja die Eigenwerte in der Jordan Normalform auf die Hauptdiagonale ein. Jetzt sei die geometrische Vielfachheit von 1 = 3 und die geometrische Vielfachheit von -1 = 1

Jetzt habe ich die algebraiche Vielfachheit ausgerechnet und die ist zum Eigenwert 1 = 2 und zum Eigenwert -1=1. Das heißt ich habe zum Eigenwert 1 2 Jordankästchen. Eins der Größe 2x2 und eins der Größe 1x1. Und zum Eigenwert -1 ein Jordankästchen der Größe 1x1.

Jetzt stellts sich für mich nur die Frage, wie ich die Jordankästchen zum Eigenwert 1 anordne.

So \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

oder So \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

und wie finde ich im allgemeinen heraus, welche Anordnung richtig ist, ohne die Hauptvektoren zu bestimmen? Das dürfen wir nicht machen.

Answer 1

Hallo,

zunächst hast Du die Begriffe verwechselt: Die algebraische Vielfachheit (also die Vielfachheit als Nullstelle des charakteristischen Polynoms) eines Eigenwerts ist größer gleich seiner geometrischen Vielfachheit (der Dimension des Eigenraums) Hier wäre als die algebraische Vielfachheit gleich 3 und die geometrische Vielfacheit gleich 2

Was Deine Frage angeht, so ist mir keine Konvention dafür bekannt. Man kann ja auch die Eigenvektoren beliebig nummerieren. Aus der Erfahrung heraus würde ich die Einer-Blöcke zuerst notieren.

Greuß MathePeter