Integral bestimmen von f(x) = ((x+1/2))/(x*sqrt(x))

Question

ich habe folgende Funktion und würde von diese Integrieren.

Funktion f(x) = ((x+1/2))/(x*sqrt(x))

Habe diese Funktion mal umgeschrieben zu: ((x+1/2))/(x^{3/2}).

Und dann versucht mit der Substitution es zu lösen, leider vergeblich.

Habe mal beim Integralrechner nachgeschaut und leider verstehe ich die Lösung nicht.

Es würde mich sehr freuen, wenn jemand die Aufgabe mir lösen könnte mit Erklärung.

euer Max

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Dein Ernst?

Habe mal beim Integralrechner nachgeschaut und leider verstehe ich die Lösung nicht.

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Hast du Integration per Hand gewählt?

Da steht im ersten Schritt ausmultiplizieren. Mit etwas Phantasie kommt man dahinter, was gemacht wurde.

Auch die Kommentare lösen sind nicht ganz zweckmässig. Man kann anhand der Rechenschritte erkennen, was die tun.

Answer 1

Hi,

Mindestens mit einer Substitution kommst Du hin. Der Rest geht fast von alleine. Ich würde mit \(u = \sqrt u\) ansetzen. Damit ist \(du = \frac{1}{\sqrt x}\;dx\).

Also

$$\int\frac{x+\frac12}{x\sqrt x} \;dx = \int \frac{u^2 + \frac12}{u^2\sqrt x} \cdot 2\sqrt x \;du$$

Die eine Wurzel im Nenner hab ich absichtlich stehen lassen, da ich eh weiß, dass sich diese mit der Subst. von \(dx\) weghebt.

Nun also Kürzen und den Bruch splitten:

$$2\int \frac{u^2}{u^2}\;du + 2\int\frac{\frac12}{u^2}\;du$$

$$2\int 1 \; du + \int \frac{1}{u^2} \;du$$

$$2\left[u\right] + \left[-\frac1u\right]$$

Noch Resubstituieren:

$$2\sqrt x - \frac{1}{\sqrt x} + c$$

Grüße

Comments

Das Einfachste ist doch mMn Teilbrüche zu bilden.

Die lassen sich nach Schema F leicht integrieren, oder?

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Richtig. Das ist noch einfacher :).

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Gerne :)     .

Answer 2

auch wenn das jetzt später kommt.

Du kannst das auch ohne Substitution machen, indem du das Integral auseinanderziehst. Also so hier:

$$ \int\frac{x+\frac{1}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}dx\\=\int\frac{x}{x^{\frac{3}{2}}}dx+\int\frac{\frac{1}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}dx\\\stackrel{(*)}{=}\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}dx+\frac{1}{2}\cdot\int\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx\\\stackrel{(*)}{=}\int x^{-\frac{1}{2}}dx+ \frac{1}{2}\cdot \int x^{-\frac{3}{2}}dx\\ \stackrel{(**)}{=}\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1}\\=2\cdot \sqrt{x}+\frac{1}{2}\cdot (-2)\cdot x^{-\frac{1}{2}}\\=2\cdot \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$$

(*) Potenzgesetze angewandt

(**) Nach der Regel:

$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $$