Zinseszinsrechnung mit Einzahlung und später Auszahlungen von jährlich 100 resp. 100€.

Question

Angenommen am Anfang des Jahres 2014 liegt ein Betrag von 100€ auf einem Konto. Das Konto wird mit 5% (feststehender Zinssatz) verzinst. Nach jedem Jahr werden am 01.01. 100€ eingezahlt bis zum Ende des Jahres 2064. Dann nimmt man ab dem 01.01.2065 jedes Jahr 1000€ vom Konto (immer am 01.01.).
In welchem Jahr (nach 2024) liegt auf dem Konto weniger als 1000€?

Answer 1

Ich verstehe die Aufgabe so, dass am 01.01.2014 erstmalig und am  01.01.2064 letztmalig R = 100 Euro eingezahlt werden. 

Man interessiert sich zunächst für den Endwert der Rente am Ende des Jahres 2064, nachdem also die letzte Zahlung verzinst worden ist.

Damit handelt es sich also um eine vorschüssige Rente. 

Es finden insgesamt n = 2064 - 2014 + 1 = 51 Einzahlungen statt. Der Zinssatz beträgt 5 % sodass also der Aufzinsungsfaktor q = 1,05 ist. 

 

Für den vorschüssigen Rentenendwert gilt die Formel:

E^vor_n = R * q * ( q ⁿ - 1 ) / ( q - 1 )

Einsetzen der Werte ergibt:

E^vor₅₁ = 100 * 1,05 * ( 1,05 ⁵¹ - 1 ) / ( 1,05 - 1 )

= 23185,62 Euro

Dieses Kapital liegt also am Ende des Jahres 2064 auf dem Konto, bevor die Auszahlungen beginnen.

 

Die Auszahlungen von jeweils R = 1000 Euro finden ebenfalls vorschüssig statt, das heißt, es werden zu Beginn des Jahres 2065 1000 Euro abgehoben und der Rest, nämlich 22185,62 Euro am Ende des Jahres 2065 mit 5 % verzinst.

Nach der Verzinsung beträgt das Kapital dann also: 22185,62 * 1,05 = 23294,90 Euro - und ist damit höher also zu Beginn des Jahres 2065!

Das Abheben von 1000 Euro jährlich genügt also nicht um das Kapital zu verbrauchen, da die Zinsen für das Restkapital höher sind, als 1000 Euro.

Es wird also (nach dem Jahre 2024) niemals wieder dazu kommen, dass auf dem Konto weniger als 1000 Euro liegen.

Comments

Muss man die 100€ zu Beginn nicht als Startkapital nehmen? Kriege dann online mit einem Zinsrechner 23,125€ ca. raus??