Hier mal ein Versuch:
Für den halben Exzess gilt bei gleichen Winkeln \(\sigma=\frac{1}{2}(3\cdot \alpha)\). Der Halbseitensatz besagt, dass:$$tan\left(\frac{a}{2}\right)=tan(r)\cdot cos(\sigma-\alpha)$$$$tan\left(\frac{b}{2}\right)=tan(r)\cdot cos(\sigma-\beta)$$$$tan\left(\frac{c}{2}\right)=tan(r)\cdot cos(\sigma-\gamma)$$ Du siehst, dass sich in den Formeln immer nur der Winkel ändert; da alle bei Dir gleich sind, werden auch alle Seiten gleich sein.
b)
Ich denke, dass wenn bei einem Dreieck die drei Winkel alle Gleich sind, sie alle \(60°\) haben. Also einfach nur die oben genannten Formel umstellen und wie schon bewiesen \(a=b=c\):$$a=2\cdot arctan(tan(r)\cdot cos(\sigma-\alpha))$$ Ferner wissen wir, dass \(\sigma=\frac{1}{2}(3\cdot \alpha)\) Wir setzen jetzt also einfach nur noch ein:$$a=2\cdot arctan\left(tan(1)\cdot cos\left(\frac{1}{2}(3\cdot 60)-60\right)\right)$$$$a≈ 1.732095$$
