Sphärisches Dreieck: Seitenlängen bestimmen?

Question

Hallo

Ich habe ein sphärisches Dreieck mit drei gleichen Winkeln und Seitenlängen kleiner gleich pi/2 auf einer sphäre mit r=1 gegeben.

a) beweis dass alle 3 Seiten gleich lang:

a=|BC| b=|AC| c=|AB|

Wie muss ich beweisen. Kann ich die Winkel irgendwie annehmen? Dann Seiten-/Winkelcosinussatz o. sphä. Sinussatz?

b) dann soll ich die Länge berechnen falls F=pi/2

Dazu brauche ich doch die Winkel da

pi/2=alpha+beta+gamma-pi

Vielen Dank

Answer 1

Hallo

zu a) ja, Winkel kos Satz

zu b) da ja alle Winkel gleich sind hast du doch nur eine Unbekannte?

Gruß lul

Comments

a) Okay der Winkelcosinussatz.

Für hinten cos(c) kann ich ja pi/2 einsetzen oder? Aber was ist mit dem Rest? Muss ich für die Winkel etwas annehmen?

b) wenn ich natürlich einen Winkel von der a) weiß kann ich ihn doch hier benutzen :D

DANKE

Answer 2

Hier mal ein Versuch:

Für den halben Exzess gilt bei gleichen Winkeln $\sigma=\frac{1}{2}(3\cdot \alpha)$. Der Halbseitensatz besagt, dass:$$tan\left(\frac{a}{2}\right)=tan(r)\cdot cos(\sigma-\alpha)$$$$tan\left(\frac{b}{2}\right)=tan(r)\cdot cos(\sigma-\beta)$$$$tan\left(\frac{c}{2}\right)=tan(r)\cdot cos(\sigma-\gamma)$$ Du siehst, dass sich in den Formeln immer nur der Winkel ändert; da alle bei Dir gleich sind, werden auch alle Seiten gleich sein.

b)

Ich denke, dass wenn bei einem Dreieck die drei Winkel alle Gleich sind, sie alle $60°$ haben. Also einfach nur die oben genannten Formel umstellen und wie schon bewiesen $a=b=c$:$$a=2\cdot arctan(tan(r)\cdot cos(\sigma-\alpha))$$ Ferner wissen wir, dass $\sigma=\frac{1}{2}(3\cdot \alpha)$ Wir setzen jetzt also einfach nur noch ein:$$a=2\cdot arctan\left(tan(1)\cdot cos\left(\frac{1}{2}(3\cdot 60)-60\right)\right)$$$$a≈ 1.732095$$

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Vielen Dank leider kann ich diesen Satz nicht benutzen....