limes, Grenzwertverhalten bestimmen

Question

die Aufgabe ist

lim x->unendlich  2^{-x} * (1+2^{2x})

ich hätte zuerst die KLammer ausmultipliziert, das bedeutet dann

2^{-x}+2^{x}  jetzt wäre das bei x gegen unendlich ja gleich unendlich.

Doch ich könnte es ja auch so aufschreiben als Bruch, also    2^x/ 2^x

dann wäre es ja unendlich durch unendlich, was wäre dass...1?

Answer 1

der Grenzwert ist

$$ \lim_{x \to \infty}\frac{1+2^{2x}}{2^x}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{2^x}+\frac{2^{2x}}{2^x}}{\frac{2^x}{2^x}}=\lim_{x \to \infty}2^{-x}+2^x=\infty $$

Answer 2

Es ist 2^x / 2^x = 1 bereits vor dem Grenzwertübergang!

Comments

warhschl. hatte ich dann schon den Denkfehler gemacht, dass ich das zusammengeschrieben habe, da:

2^{-x}+2^{x}  nicht gleich  2x/ 2x ist, oder? Als Burch könnte ich es nur dann schreiben, wenn es multipliziert würde?

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So ist es!                                .

Answer 3

Wenn Du das ausmultiplzierst bekommst Du

=lim(x->∞) (2^{-x} +2^x) = ∞

Answer 4

Nehme die Reziproke von \(2^{-x}\) und erhalte:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1+2^{2x}}{2^x}$$

Die Potenz \(2^{2x} \) wird zu \(4^x\):

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1+4^x}{2^x}$$

Wende nun L'Hopital an:$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2ln(2)\cdot 4^x}{ln(2)\cdot 2^x}$$

Du kannst nun \(ln(2)\) wegstreichen:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2\cdot 4^x}{2^x}$$

$$\lim\limits_{x\to\infty}2\cdot 2^x$$$$\lim\limits_{x\to\infty}2\cdot 2^x=\infty$$