Allgemeine Integrationsfrage. Wie und wann genau Logarithmus in Stammfunktion?

Question

paar allgemeine Fragen zur Integration.

integriere ich 1/x ist das ja ln(x)

wenn ich z.B.      (2x+3)^{-2} integriere ist das ja theoretisch  -0,5(2x+3)^{-1} wenn ich das nochmals integrie wäre das ja hoch 0! Muss ich deshalb jetzt den ln verwenden? Also nur bei hoch -1 integratino.

Und wenn ich  1/(2x) integriere hätte ich gedacht wäre das  ln(2x)   aber ich glaub das ist eig. falsch, oder?

Answer 1

wäre das ja hoch 0. Muss ich deshalb jetzt den ln verwenden? Also nur bei hoch -1 integration.

Ja. Der ln kommt nur, wenn du hoch -1 hast. (Betragsstriche nicht vergessen)

Aber da gibt es häufig noch zusätzlich Faktoren vor dem ln und hinter dem ln solltest du Betragsstriche verwenden.

Und wenn ich  1/(2x) integriere hätte ich gedacht wäre das  ln(2x)  aber ich glaub das ist eig. falsch, oder?

Ja. Beinahe. Grund: 1/(2x) = (2x)^(-1) . Integriert aber 1/2 *   ln |2x|   + C

Comments

Ich glaube aber das das integral, von 1/(2x)

0,5 ln(|x|)+C  ergibt!

das 2x ist glaube ich flasch!

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"Ja. Beinahe. Grund: 1/(2x) = (2x)^{-1} . Integriert aber 1/2 *  ln |2x|  + C"

also ich denke dass das nicht stimmt , oder?

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Dein Resultat ist in der Tat einfacher!

Nur:

Subtrahiere mal die beiden Resultate voneinander (ohne das C)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5+ln(%7Cx%7C)+-+1%2F2+*+++ln+%7C2x%7C

Sie unterscheiden sich durch eine Konstante.

D.h. wir haben unterschiedliche C.

Mit Hilfe von Logarithmengesetzen kannst du die Differenz exakt ausrechnen.

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0,5 ln(|x|)+ C

1/2 *  ln |2x|  + C

es kann ja ber nur eines davon stimmen.... welches. Bin jetzt bisschen verwirrt.

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Annahme x>0.

Folgendes Logarithmengesetz kennst du?

ln(2x) = ln(2) + ln(x)

[spoiler]

Deshalb: (Betragsstriche kannst du der Einfachheit halber wegdenken)

0.5 ln(|x|) - 1/2 *  ln |2x|

= 1/2 ln(|x|) - 1/2 * (ln(2) + ln(|x|))

=  1/2 ln(|x|) - 1/2 * (ln(2)) - 1/2 * ( ln(|x|)))

= -1/2 * ln(2)

Wir haben "nur" unterschiedliches C. 

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ja, das gesetz kenne ich.

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Subtrahiere nun unsere beiden Resultate voneinander (ohne Betragsstriche)

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ok. danke. dann passt es ja ;)

Answer 2

Die Integration von  ∫1/(2x+3)^2 dx hat das Ergebnis:

= -1/(4 x + 6) + C

Wenn man das nochmal integrieren will :

substituiert man z= 4x+6 und erhält

-1/4 ln|2 x + 3| + C

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∫ 1/(2x) dx= 1/2 ∫ 1/x dx=  1/2 *ln|x| +C