Für eine zweidimensionale (differenzierbare) Funktion $$f(x,y)$$ liegt an der Stelle $$(x_0,y_0)$$ eine (lokale) Extremstelle vor wenn folgende drei Gleichungen erfüllt sind:
$$f_x(x_0,y_0)=0$$$$f_y(x_0,y_0)=0$$$$f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0) > f_{xy}(x_0,y_0)\cdot f_{yx}(x_0,y_0)$$Nun die Aufgabe selber lösen!!Ab hier erst zur Kontrolle nachsehen!
Sehen wir uns die erste Gleichung an
$$f_x(x_0,y_0)=0$$
$$y_0^2-4=0$$
$$y_0=\pm 2$$
Sehen wir uns die zweite Gleichung an
$$f_y(x_0,y_0)=0$$
$$2x_0y_0=0$$
$$x_0y_0=0$$
Da wegen der ersten Gleichung nur mehr $$y_0=\pm 2\neq 0$$ in Frage kommt, muss folgendes gelten:
$$x_0=0$$
Wir haben also insgesamt zwei Punkte, die als Extremstelle in Frage kommen (alle möglichen Kombinationen der Lösungen der ersten beiden Gleichungen):
$$(0|-2)$$
und
$$(0|2)$$
Durch Einsetzen in die dritte Gleichung sieht man dann, ob die jeweiligen Punkte überhaupt Extremstellen sind.
Bemerkung: Falls dir die Hesse-Matrix geläufig ist, verwende sie für diese Aufgabe!
