Extremwerte bestimmen bei Funktion mit 2 Variablen: f(x,y)=1/6x^3-x+1/4xy^2

Question

Hi, ich soll von dieser funktion minima, maxima und sattelpunkt bestimmen: f(x,y)=1/6x^3-x+1/4xy^2,  aber schon bei der bestimmung der nulstellen kommt mir 0=0 raus, kann das sein? wenn ja, wie sag ich dann dazu, dass diese funktion gar nicht existiert? Danke =)

Answer 1

Nullstellen bestimmen: Es muss f(x,y) = 0 gelten.
1/6 x³ - x + 1/4 xy² = 0

x*(1/6 x² - 1 + 1/4 y²) = 0

Die Funktion ist also einerseits 0, wenn x 0 ist, unabhängig davon, was y ist.

Andererseits ist sie auch 0, wenn

x²/6 + y²/4 - 1 = 0

x²/6 + y²/4 = 1

Das ist die Gleichung einer Ellipse um den Nullpunkt mit den Halbachsen a=√6 und b=2, dort ist die Funktion auch 0.

 

Extrema: Für Extrema einer Funktion mehrerer Variablen muss der Gradient verschwinden.

Der Gradient ist der Vektor, der entsteht, wenn man in die erste Koordinate die Ableitung nach x schreibt, in die zweite die Ableitung nach y und so weiter. In diesem Fall hat der Vektor also zwei Einträge, die beide 0 sein müssen:

x²/2 - 1 + y²/1 = 0 (I)

xy/2 = 0 (II)

 

Die zweite Bedingung zeigt, dass die Funktion nur auf den Achsen Extrema haben kann. Da aber bekannt ist, dass die Funktion auf der ganzen y-Achse identisch mit 0 ist, können dort keine Extrema, sondern nur Sattelpunkte liegen. Darum kümmern wir uns gleich.
Für die Extrema muss also y=0 und außerdem die Gleichung (I) gelten:

x²/2 -1 = 0

x²/2 = 1

x² = 2

x = ±√2

Betrachtet man die Funktion auf der x-Achse als reine Funktion von x, also

f(x, 0) = x³/6 - x

Dann sieht man, dass die Funktion für x gegen +∞ gegen +∞ geht und für x gegen -∞ gegen -∞, also liegt bei (√2, 0) ein Minimum und bei (-√2, 0) ein Maximum der Funktion.

 

Wie gesagt sind die Lösungen von (I),(II) auf der y-Achse auf jeden Fall Sattelpunkte, für diese gilt außerdem (I) mit x=0:

-1+y²/1 = 0

y² = 1

y = ±1

Es gibt also noch zwei Sattelstellen (0, 1) und (0,-1).