Lösung von Wurzelgleichungen

Question

gegeben ist die Wurzelgleichung:

√(5x²-3x-4)=2x.

Als Lösung habe ich den Wert x=4. Das Lösungsbuch gibt aber den Wert x=-1 als zweite Lösung mit an. Jedoch ergibt hier die Probe bei zum Schluss die Gleichung 2=-2, was ja nicht geht. Kann mir jemand weiterhelfen? Erfüllen beide x- Werte die Gleichung oder nur der Wert von x=4.

Liebe Grüße

Answer 1

√(5x^2-3x-4)=2x  | (..)^2

5x^2-3x-4 =4x^2 |-4x^2

x^2-3x-4=0 -- ->z.B pq-Formel

x_1.2 = 3/2 ± √(9/4 +16/4)

x_1,2= 3/2 ± 5/2

x₁=4

x₂= -1 (Scheinlösung)

Die Probe zeigt, das nur 4 die Lösung der Gleichung ist.

Durch das Quadrieren entstehen Scheinlösungen, deshalb ist immer die Probe zu machen.

Answer 2

quadriere und benutze die pq Formel.

$$\pm\sqrt{5x^2-3x-4}=2x\quad | ^2\\5x^2-3x-4=4x^2\quad|-4x^2\\x^2-3x-4=0\\x_{1,2}=1.5\pm\sqrt{1.5^2+4}\\x_{1,2}=1.5\pm 2.5\\x_1=-1\\x_2=4$$

Vor der Wurzel steht eigentlich Plusminus. Wenn du das Minus vor die Wurzel ziehst, stimmt auch die Lösung -1, aber dann stimmt nicht mehr die Lösung 4.