Probe bei Wurzelgleichungen

Question

Liebe Lounge,

folgende Frage treibt mich um: Nach meinem Kenntnisstand muss man bei der Lösung einer Wurzelgleichung IMMER eine Probe machen, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist und ggf. Scheinlösungen entstehen können.

Jetzt liest man immer wieder so etwas wie "in der Regel keine Äqivalenzumformung" und "es können ggf. Scheinlösungen dazu kommen".

Gibt es besondere Fälle von Wurzelgleichungen, also mit Variablen unter der Wurzel, sodass man bereits anhand der Form der Ausgangsgleichung argumentieren kann, dass

(i) durch das Quadrieren eine falsche Lösung hinzukommen wird

(ii) das Quadrieren keine Scheinlösungen produziert.

Ich hoffe, dass meine Frage verständlich gestellt wurde und freue mich auf eure Antworten.

LG

Kombinatrix

Answer 1

Von der Praxis her :
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung

a.)
x = 2
quadrieren
b.)
x^2 = 4
x1 = +2
x2 = -2

Während es bei a.) nur eine Lösung gibt
gibt es für die quadrierte Form der Gleichung
b.) 2 Lösungen

Bei Wurzeln ist darauf zu achten das der Wert
in der Wurzel stets ≥ 0 null ist.
Gegebenfalls muß der Definitionsbereich
eingeschräkt werden.

Answer 2

Generell gilt:

 Werden beide Seiten einer Wurzelgleichung quadriert, um die Wurzelsymbole loszuwerden, entstehen Scheinlösungen.

Deshalb muß eine Probe durchgeführt werden.

Wichtig ist auch, die Definitionsmenge festzulegen.

Comments

Ja aber diese Scheinlösungen entstehen ja nicht immer:

\( \sqrt{2} \) ·(12+x)=3\( \sqrt{(36+x²)} \)  

Hier entsteht ja keine Scheinlösung durch das Quadrieren.

Und die Frage ist, gibt es eine "Faustregel" für Gleichungen, bei denen eben keine Scheinlösungen entstehen.

Danke

---

als "Faustregel" ist es mit nicht bekannt.

Um auf der sicheren Seite zu sein, mache doch immer die Probe bei

Wurzelgleichungen .6 und 6/7 einzusetzen geht ja schnell.

Answer 3

Ein einfaches Beispiel zeigt, dass eine Probe bei Wurzelgleichungen immer wichtig ist.

\(x=\sqrt{x^2}\) hat alle nichtnegativen reellen Zahlen als Lösungen, während die quadrierte Gleichung \(x^2=x^2\) von allen reellen Zahlen erfüllt wird.

"In der Regel keine Äquivalenzumformung" ist daher falsch, denn Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.