Lösen Sie die homogene Differentialgleichung x′ = −xsin(t), b) mit x(t0 = 0) = 1

Question

Guten Tag liebe Mitglieder,

ich bin gerade dabei eine Matheaufgabe zu lösen. Bei der oben genannten Aufgabe fehlt mir leider der Ansatz. Irgendwie weiß ich nicht, wie vorgehen soll. mit Welcher Methode soll ich die DGL lösen? 

Answer 1

Hallo

 immer wenn man hat x'=f(x)*g(t) löst man mit Trennung der Variablen:

dx/f(x)=g(t)dt und integriert. Integrationskonstante nicht vergessen. bei dir ist f(x)=x, g(t)=-sin(t)

Gruß lul

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Hallo lul,

viele Dank für die schnelle Antwort,

ich bin jetzt auf die folgende Lösung gekommen:

x= c*e^cos(t)

Gruß Dexi110

Answer 2

Hallo Dexi,

Trennung der Variablen:

x'(t) = - x(t) · sin(t)

Habe leider in der Aufgabenstellung das Minuszeichen übersehen. Die Antwort ist dementsprechend analog korrigiert.

dx/dt =  - x(t) · sin(t)    |  : x(t) ≠ 0

  #  x(t) = 0  ist eine Lösung der DGL (wie man durch Einsetzen in die DGL leicht sieht) und bleibt bei der Herleitung außer Betrachtung.  Außerdem hat die hergeleitete allgemeine Lösung keine Nullstellen.

d(x) / x(t) = - sin(t) dt

Integrieren:

ln( |x(t)| ) =  cos(t) + k    mit k∈ℝ

x(t) = ± e^{cos(t) +k}  =  ± e^k · e^cos(t)     ( ± e^k ∈ ℝ\{0} ) 

 Zusammen mit #:    x(t)  =  c · e^cos(t)   mit c∈ℝ   (allgemeine Lösung)

Mit x(0) = 1  →  1 = c · e →   x(t) = 1/e · e^cos(t)   (spezielle Lösung)

Gruß Wolfgang  ·

Comments

Hallo lieber Wolfgang,

ich denke die richtige Integration wäre ln( |x(t)| ) = + cos(t) + c und nicht

 ln( |x(t)| ) = - cos(t) + c

Vielen, Vielen Dank

Gruß Dexi

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ich denke die richtige Integration wäre ln( |x(t)| ) = + cos(t) + c

Nein, ein Stammfunktionsterm von sin(t)  ist  - cos(t)

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Nachtrag:

Sorry, hatte in der Überschrift das Minuszeichen übersehen. Die Antwort ist dementsprechend korrigiert.

Answer 3

x'= -x sin(t), x(0)=1 ----->Vor dem x steht ein Minus in der Aufgabe !

dx/dt = - x sin(t)

dx/x =  - sin dt

ln|x| = cos(t) +C

x = C₁ e^{cos(t)}

→ die AWB einsetzt:  x(0)=1

1=C1 e

C1= e^{-1}

→ x=  e^{-1} *e^{cos(t)}

x=e^{cos(t) -1}