Soll mal einer sagen, ich hätte hier nix gelernt . Es handelt sich um zweimalige Anwendung des MWS . Hier sollte mal der bekannte Satz bewiesen werden
(V) x | f ' ( x ) > 0 ===> streng monoton wachsend ( 1 )
und als Hinweis war gegeben: Benutze den MWS . Genau so machen wir es hier. Angenommen keine ( noch so große ) offene Umgebung
a < x0 < b ( 2 )
welche deinen Berührpunkt x0 enthält, enthält einen weiteren Schnittpunkt X . Dann sind wir fertig .
x1
f ' ( x1 ) = f ' ( x0 ) + $ f " ( x ) dx ( 3a )
x0
D.h. wir machen hier entscheidend von dem Hauptsatz Gebrauch, dass f ' die Aufleitung von f " ist . Dann kannst du aber das Integral mit Hilfe des MWS umschreiben
(E) x_m = x_m ( x0 ; x1 ) | f ' ( x1 ) = f ' ( x0 ) + ( x1 - x0 ) f " ( x_m ) ( 3b )
Die 2. Ableitung in ( 3b ) war ja stets positiv. Und so bald x1 > x0 , stellt sich auch f ' als eine streng monoton wachsende Funktion heraus .
( f ' ist monoton; f nicht notwendig. Das Gegenbeispiel f ( x ) = x ² wurde quasi unabsichtlich ja oben schon erwähnt. )
Widerspruchsbeweis . Angenommen in ( 2 ) ergibt sich ein zweiter Schnittpunkt x = b der Tangente mit der Kurve . Zweite Anwendung des MWS ; dann gibt es in dem Intervall J := ( x0 , b ) ein x_m so dass die Tangente g_x_m parallel zu unserer Tangente g_x0 . ( Tangente g_x0 übernimmt praktisch die Rolle der Kurvensehne auf J ) Anders gesagt
f ' ( x0 ) = f ' ( x_m ) ( 4 )
Und das ist ein Widerspruch, da wir ja gesagt hatten, f ' ist STRENG monoton
