Ist {1,z,z^2-1} ein Erzeugendensystem der Polynome mit höchstens Grad 2?

Question

$$Aufgabe:\\ Sei\quad V=C{ \left[ z \right]  }_{ \le 2 }=\left\{ { a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }z+{ a }_{ 2 }{ z }^{ 2 }|{ a }_{ 0 },{ a }_{ 1 }{ ,a }_{ 2 }\epsilon C \right\} der\quad Vektorraum\quad der\quad Polynome\quad vom\quad Grad\quad höchstens\quad 2.\\ Ist\left\{ 1,z,2{ z }^{ 2 }-1 \right\} \quad ein\quad Erzeugendensystem\quad von\quad C{ \left[ z \right]  }_{ \le 2 }?\\ \\ Meine\quad Fragen:\\ Ist\quad C{ \left[ z \right]  }_{ \le 2 }=\left\{ { a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }z+{ a }_{ 2 }{ z }^{ 2 }|{ a }_{ 0 },{ a }_{ 1 }{ ,a }_{ 2 }\epsilon C \right\} \quad nicht\quad die\quad lineare\quad Hülle?\\ Und\quad soll\quad man\quad nun\quad zeigen,\quad dass\quad \left\{ 1,z,2{ z }^{ 2 }-1 \right\} \quad durch\quad die\quad Vektoren\quad der\quad linearen\quad Hülle\quad aufgespannt\quad werden,\\ sodass\quad C{ \left[ z \right]  }_{ \le 2 }\quad entsteht?\\ \\ Also\quad z.B.\quad so\quad hier\quad \quad { a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }z+{ a }_{ 2 }{ z }^{ 2 }\quad =\quad \frac { 3 }{ 2 } *1+1*z+\frac { 1 }{ 2 } *(2{ z }^{ 2 }-1)=\quad 1+z+2{ z }^{ 2 }-1\quad also\quad \left\{ 1,z,2{ z }^{ 2 }-1 \right\} ?\\ Mmh\quad ich\quad denke,\quad das\quad ist\quad so\quad nicht\quad richtig...\\ Kann\quad mir\quad Jemand\quad die\quad genaue\quad Vorgehensweise\quad erklären,\quad dieses\quad Thema\quad mit\quad dem\quad Erzeugendensystem\quad und\quad der\quad Hülle\quad ist\quad unverständlich.$$

Answer 1

   Um zu beweisen, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt, musst du dir zwei Dinge überlegen.  Erstens; jedes Polynom ist vom Grade nicht größer als  2  .

   p0  =  1     (  1a  )    (  Grad  Null;  Polynome nullten Grades sind  "  c_Zahlen " )

   p1  =  z     (  1b  )   (  ersten Grades  )

   p2  =  2  z  ²  -  1      (  1c  )    (  quadratisch  )

    Und jetzt kommt der   alte über den Wolken ins Spiel.  du sollst zeigen, dass sich jedes Polynom aus C_2  [  z  ]  ausdrücken lässt als Linearkombination von  ( 1a-c  )   Besonders beliebt in der Matematik sind ja die " konstruktiven "  Beweise, wo die Existenz der Lösung  sehr überzeugend dargetan wird, indem du sie explizit angibst - so auch hier. Woher du die Koeffizienten hast, ist voll unintressant.  Das allgemeine Element von C_2 [ z ]  lautet

   a2  z  ²  +  a1  z  +  a0  =  a2/2  p2  +  a1  p1  +  (  a2/2  +  a0  )  p0         (  2  )

   Weil es gibt Existenzbeweise, die bis Heute nicht konstruktiv abgesichert sind   Ein typisches Beispiel ist das  ===>  Auswahlaxiom  . Oder auch Existenzbeweise, die sich wesentlich eleganter führen lassen, wenn du auf  die explizite Konstruktion verzichtest .

Comments

   Ich seh grad .  Bei dem Mathechef erkundigst du dich, ob deine Rechnung richtig ist - nein ist sie nicht .   Auf der linken Seite kommen die Koeffizienten  a0;1;2 vor .  Die müsstest du dann eigentlich auch auf der rechten Seite haben; bei dir sehe ich da nichts davon .  Also schon rein tendenziell falsch; mehr als nur ein Rechenfehler .

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Hi!

Danke, für die Antwort!

Answer 2

Doch, deine Übnerlegung ist richtig.

Wenn eine Menge ein Erzeugendensystem für einen Vektorraum ist,

dann bedeutet dies, das die lineare Hülle dieser Menge der Vektorraum ist.

Comments

Super, also ist die Rechnung so ok? Bzw. wie würde man es den sauber aufschreiben, war nur eine schnelle Rechnung von mir?

Answer 3

Hallo Anton,

Ab "Also z.B. so hier..." ist das nicht richtig.

Du musst zeigen, dass sich ein beliebiger Term  a₀ + a₁ z + a₂ z² ∈ V  in der Form

α · 1 + β · z + γ · (2z² - 1)  mit passenden α,β,γ ∈ ℂ darstellen lässt (was man natürlich auch sofort sieht :-))

Also  macht man einen Koeffizientenvergleich:

a₀ + a₁ z + a₂ z²  =  α · 1 + β · z + γ · (2z² - 1)

a₀ + a₁ z + a₂ z²  =  α - y + β · z  +  2γ z²   

→  γ = a₂ / 2  ,  α = a₀ + a₂ / 2  und  β = a₁

Gruß Wolfgang 

Comments

auch dir Danke für die Antwort.

Ich finde dieses Thema gerade sehr schwierig zu verstehen, habe immer noch große Probleme mit dem Span/Lineare Hülle und dem Erzeugendensystem.

Also der Span ist die Menge aller Linearkombinationen, von einer Teilmenge des Vektorraumes. Und wenn der Spann gleich den Vektorraum aufspannt, dann sind die inneren  Vektoren das Erzeugendensystem, right?

Und das Ziel der Aufgabe war, das zu prüfenden Erzeugendensystem, mittels Linearkombination auf die Form des Spans zu bringen?

Muss denn der Span immer gleich dem Erzeugendensystem sein? Oder kann sich dies auch unterscheiden?

Sry, ich habe bei diesen zwei Begriffen wirklich extreme Probleme, sowas hatte ich noch nie zuvor?

Nur zur Info, ich studiere noch nicht, habe kürzlich erst mein Abitur gemacht und versuche mich schon etwas vorzubereiten, natürlich nur aus Interesse.

Also Sry für die Unwissenheit:)

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Also der Span ist die Menge aller Linearkombinationen, von einer Teilmenge des Vektorraumes. 

Ja.

Und wenn der Spann gleich den Vektorraum aufspannt, dann sind die inneren  Vektoren das Erzeugendensystem, right?

 Nicht das EZS sondern ein EZS.

Muss denn der Span immer gleich dem Erzeugendensystem sein? Oder kann sich dies auch unterscheiden?

Der Span ist nicht das EZS. Er ist die Menge aller Linearkombinationen des EZS. Oben hat das EZS 3 Elemente, der Span unendlich viele.

Und das Ziel der Aufgabe war, das zu prüfenden Erzeugendensystem, mittels Linearkombination auf die Form des Spans zu bringen? 

Es musste überprüft werden, ob der Span des EZS gleich dem gesamten Vektorraum ist.

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Ok Also gibt es nicht ein EZS sondern mehrere?

Mal zum Verständnis:

Wenn man nun einmal 4 Vektoren im R^3 nimmt.

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,2,3),

Was wäre hier der Span und was das EZS?

Komme mir richtig doof vor, ich weiß einfach nicht welche Fragen ich stellen soll, damit ich die Antwort bekomme, wo es klick macht.

Mein Problem ist, dass ich nicht versteh, wie sich das EZS bzw. der span zusammensetzt.

Nähmen wir die 4 Vektoren, grundsätzlich würde ich sagen, sie sind sowohl span (natürlich hier als Menge alles Linearkombinationen dieser Vektoren), als auch EZS, da diese den R^3 erzeugen.

Eine weitere Frage wäre, ob man auch einen der Vektoren weglassen könnte, denn
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) bilden ja schon den R^3  bzw. spanne ihn auf.

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Wenn du ein Erzeugendensystem hast, kannst du so viele Vektoren aus

dem Raum dazu tun wie du willst. Es bleibt immer ein Erzeugendensystem.

Interessant ist bei endlich vielen  eher: welches ist das kleinste ?

Das bekommst du dann, wenn die Erzeugenden linear unabhängig sind

und nennt sich dann: eine Basis des Raumes.