Gleichung mit Potenzen: x = (2x)^{2/3} · (15x)^{1/4}

Question

Ich bräuchte  Hilfe bei folgender Gleichung, die nach x aufgelöst werden soll:

x = (2x)^2/3 · (15x)^1/4

x = 30x^11/12

Wie geht es weiter?

Answer 1

$$x=(2x)^{\frac{2}{3}}\cdot (15x)^{\frac{1}{4}}$$ Wende Potenzgesetze an:$$x=2^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{2}{3}}\cdot 15^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{1}{4}}$$$$x=2^{\frac{2}{3}}\cdot 15^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{11}{12}}$$ Schreibe zur Wurzel um:$$x=\sqrt[3]{2^2}\cdot \sqrt[4]{15}\cdot \sqrt[12]{x^{11}}$$ Erweitere den Ausdruck, um auf denselben Wurzelexponent zu kommen:$$x=\sqrt[12]{2^8}\cdot \sqrt[12]{15^3}\cdot \sqrt[12]{x^{11}}$$ Nun kannst du alles unter eine Wurzel schreiben:$$x=\sqrt[12]{864000\cdot x^{11}} \quad |(...)^{12}$$$$x^{12}=864000\cdot x^{11}  \quad |-x^{12}$$$$0=864000\cdot x^{11} -x^{12} $$ Wende den Satz vom Nullprodukt an:$$0=x^{11}(864000-x)$$ Wir haben also \(x_1=0\) und \(x_2=864000\).

Answer 2

x = (2x)^{2/3} · (15x)^{1/4}

x = 30x^{11/12}

Wie geht es weiter?

Die rechte Seite wurde falsch zusammengefasst, also würde ich hier gar nicht weiterrechnen. Um Potenzprodukte so zusammenfassen zu können, wie du es gemacht hast, müssen die Basen gleich sein, was sie hier aber nicht sind. Potenziere stattdessen die Ausgangsgleichung mit 12, dann bekommst du

x^{12} = (2x)^{8} * (15x)^{3}

x^{12} = 2^{8} * x^{8} * 15^{3} * x^{3}

x^{12} = (2^{8} * 15^{3}) * x^{11}

x = 0   oder   x = 2^{8} * 15^{3}

Answer 3

x = (2x)^{2/3} · (15x)^{1/4}
x = 2^{2/3} * x ^{2/3} * 15^{1/4} * x^{1/4}
x = 3.124 * x^{11/12} => x = 0
x / x^{11/12} = 3.124
x^{1/12} = 3.124
x = 3.124 ^12
x = 864000

Answer 4

     Mein Vorschlag:  Mach doch erst mal diese  gefic kten Wurzeln weg, indem du alles auf den Hauptnenner bringst .

    x  =  (  2  x  )  ^  2/3  (  15  x  )  ^ 1/4     |   ^  12       (  1  )

    x  ^ 12  =  (  2  x  )  ^  8  (  15  x  )  ³        (  2  )

     x  ^  12  =  2  ^  8  *  15  ³  x  ^  11     |   :  x  ^  11     (  3a  )

   Man sieht auch sofort, dass du die Lösung x1  =  0  hast .    Dividieren darfst du freilich nur wenn x >  0

       x2  =  2  ^  8  *  15  ³         (  3b  )