Vermutlich sollen x, y, z auch von 2 bzw. 3 verschieden sein. Sonst ist die Aufgabe nicht eindeutig lösbar.
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Bestimmen der Primfaktorzerlegungen:
\(18 x^2 y z^3 = 2\cdot 3^2\cdot x^2 \cdot y\cdot z^3 = 2^1\cdot 3^2\cdot x^2\cdot y^1\cdot z^3\)
\(24 x y^2 z^2 = 2^3 \cdot 3\cdot x\cdot y^2 \cdot z^2 = 2^3\cdot 3^1\cdot x^1\cdot y^2\cdot z^2\)
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Nun sucht man sich zu jeder Primzahl den kleinsten Exponenten und merkt sich die entsprechende Primzahlpotenz. Bei 2 hat man beispielsweise für den ersten Term den Exponenten 1 und beim zweiten Term den Exponenten 3. Der kleinste Exponent ist dabei 1. Daher merkt man sich 21 für den ggT. Den ggT erhält man dann, als Produkt der gemerkten Primzahlpotenzen.
\(\begin{aligned}\text{ggT}\left( 18 x^2 y z^3, 24 x y^2 z^2 \right) &= 2^{\min(1, 3)}\cdot 3^{\min(2, 1)}\cdot x^{\min(2, 1)}\cdot y^{\min(1, 2)}\cdot z^{\min(3, 2)} \\ & = 2^1 \cdot 3^1\cdot x^1 \cdot y^1 \cdot z^2 \\ &= 6 x y z^2 \end{aligned}\)
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Analog erhält man das kgV. Nur dass man beim kgV jeweils nicht den kleinsten Exponenten sucht, sondern den größten Exponenten sucht.
\(\begin{aligned}\text{kgV}\left( 18 x^2 y z^3, 24 x y^2 z^2\right) &= 2^{\max(1, 3)}\cdot 3^{\max(2, 1)}\cdot x^{\max(2, 1)}\cdot y^{\max(1, 2)}\cdot z^{\max(3, 2)} \\ & = 2^3 \cdot 3^2\cdot x^2 \cdot y^2 \cdot z^3 \\ &= 72 x^2 y^2 z^3 \end{aligned}\)
