Vermutlich sollen x, y, z auch von 2 bzw. 3 verschieden sein. Sonst ist die Aufgabe nicht eindeutig lösbar.
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Bestimmen der Primfaktorzerlegungen:
\(18 x^2 y z^3 = 2\cdot 3^2\cdot x^2 \cdot y\cdot z^3 = 2^1\cdot 3^2\cdot x^2\cdot y^1\cdot z^3\)
\(24 x y^2 z^2 = 2^3 \cdot 3\cdot x\cdot y^2 \cdot z^2 = 2^3\cdot 3^1\cdot x^1\cdot y^2\cdot z^2\)
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Nun sucht man sich zu jeder Primzahl den kleinsten Exponenten und merkt sich die entsprechende Primzahlpotenz. Bei 2 hat man beispielsweise für den ersten Term den Exponenten 1 und beim zweiten Term den Exponenten 3. Der kleinste Exponent ist dabei 1. Daher merkt man sich 2^1 für den ggT. Den ggT erhält man dann, als Produkt der gemerkten Primzahlpotenzen.
\(\begin{aligned}\text{ggT}\left( 18 x^2 y z^3, 24 x y^2 z^2 \right) &= 2^{\min(1, 3)}\cdot 3^{\min(2, 1)}\cdot x^{\min(2, 1)}\cdot y^{\min(1, 2)}\cdot z^{\min(3, 2)} \\ & = 2^1 \cdot 3^1\cdot x^1 \cdot y^1 \cdot z^2 \\ &= 6 x y z^2 \end{aligned}\)
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Analog erhält man das kgV. Nur dass man beim kgV jeweils nicht den kleinsten Exponenten sucht, sondern den größten Exponenten sucht.
\(\begin{aligned}\text{kgV}\left( 18 x^2 y z^3, 24 x y^2 z^2\right) &= 2^{\max(1, 3)}\cdot 3^{\max(2, 1)}\cdot x^{\max(2, 1)}\cdot y^{\max(1, 2)}\cdot z^{\max(3, 2)} \\ & = 2^3 \cdot 3^2\cdot x^2 \cdot y^2 \cdot z^3 \\ &= 72 x^2 y^2 z^3 \end{aligned}\)
