Für welche Parameter t hat die Gleichung x^2-tx+2t=0 genau eine Lösung?

Question

Hallo. ich wollte wissen, wie ich da Vorgehen muss

Für welche Parameter t hat die Gleichung x^2-tx+2t=0 genau eine Lösung?

Comments

Eine weitere Lösungsmöglichkeit:

\( x^{2} \) - t·x+2·t=0

t=\( \frac{x^2}{x-2} \)

\( x^{2} \) =0

x=0     → t ₁ = 0

Nenner =0→ x=2

Da bei x=2 eine Polstelle ist, liegt bei x=4 eine weitere Nullstelle.

t ₂ =\( \frac{4^2}{4-2} \)=8

\( x^{2} \) - 8·x+16=0

\( (x-4)^{2} \) =0

mfG

Moliets

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Oder Weg über Extremwertbestimmung:

\(f(x)=x^{2}  - t*x+2*t\)

\(f´(x)=2x - t\)

\(2x - t=0\)

\(x =\frac{t}{2}\)

\(f(\frac{t}{2})=(\frac{t}{2})^{2}  - t*\frac{t}{2}+2*t=-\frac{t^2}{4}+2t\)

\(-\frac{t^2}{4}+2t=0\)

\(t₁=0\)

\(t₂=8\)

1.) \(f(x)=x^{2} \)

2.)\(f(x)=x^{2}  - 8*x+16=(x-4)^2\)

Answer 1

Eine quadratische Gleichung \(x^2+px+q=0\) hat genau dann genau eine Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist. Die Diskrimante ist hier \(\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}=\sqrt{\frac{t^2}{4}-2t}.\)

Damit die Diskriminante 0 ist muss gelten: \(\frac{t^2}{4}-2t=0\Rightarrow t\left(\frac{t}{4}-2\right)=0.\)

Dieses Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Also gibt es die Lösungen \(t_1=0, t_2=8.\)

Für diese Werte von t hat die quadratische Gleichung also genau eine Lösung.

Comments

Wenn ich so an die Aufgabe herangegangen wäre, hätte ich auch die 0 als Lösung nicht übersehen :-)

Sehr gut gemacht !!

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Naja, kann passieren. Mir ist es auch schon passiert. In der 11. Klasse in einer Klausur. Ich hatte dann deswegen eine Note schlechter, und dadurch auch am Halbjahresende im Zeugnis... (nur durch so einen dummen Fehler! *mich ärger*).

Zum Glück hat es sich dann nicht noch auf die Abiturnote ausgewirkt. ;-)

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Ich trau mich gar nicht, nach Deiner Abiturnote zu fragen :-D

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2,1. Mathe war fast immer Bestnote (15 Punkte), außer eben im ersten Halbjahr (siehe oben, *mich immer noch drüber ärger, auch 3 Jahre später noch!!!*). Physik war auch ganz in Ordnung (14 Punkte) Aber besonders in so Fächern wie Deutsch oder Geschichte war ich nicht so die besonders große Leuchte, deswegen auch "nur" 2,1.

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Wie ich mir dachte: Du hast um eine halbe Note besser abgeschnitten als ich, wenn ich meine Abiturnote noch richtig im Gedächtnis habe :-)

Ist allerdings schon ein paar Jahrzehnte her ...

Damals gab es noch kein Punktesystem; ich hatte lediglich die Wahl zwischen sprachlichem und mathematischem Bereich: Im sprachlichen Bereich bekam man zu Deutsch, Englisch und Latein noch Französisch dazu (mon dieu!), im mathematischen intensivere Mathematik und dazu mehr Physik und Chemie - ich habe mich natürlich für den sprachlichen Bereich entschieden :-D

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Bei uns haben alle die gleiche Mathematik gemacht. Man musste sich dann nur irgendwann entscheiden, ob man Mathe als Grund- oder Leistungskurs nimmt. Es gibt dann aber nur Unterschiede in der Abiturklausur, und in der Gewichtung für die Abiturnote. Aber in der 11. und 12. Klasse haben da alle das Gleiche gelernt.

Es hört sich vielleicht erstmal komisch an, dass ich mich über 14 Punkte in Mathe ärgere (das entspricht einer 1 im 6-Noten-System, 15 Punkte ist eine 1+). Aber in Mathe war ich schon immer etwas "anders". In meiner Klasse waren 20 Leute, 95% davon waren der Meinung: "Hauptsache irgendwie Mathe bestehen, Note egal." (für die Matheprofis unter uns: 95% von 20 Leuten sind 19: alle außer mir. ;-)  ). Aber ich wollte nun mal Bestnote haben in Mathe. :-) Dafür gab es dann aber auch einige Fächer, die mir ziemlich egal waren (siehe oben).

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Man muss halt Prioritäten setzen; und Mathe scheint ja nun wirklich Dein Ding zu sein, auch wenn es nur zu einer glatten 1 gereicht hat :-D

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Und weißt du, wie schlecht ich in der Abitur-Klausur war? Nur 98 von 100 Punkten...

(Achtung: Es könnte Ironie enthalten sein)

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Ich verstehe dieses Punktesystem nicht, aber ich glaube, 98 von 100 Punkten sind recht gut:
Immerhin rund 97% :-D

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"98 von ..." :D wäre schon einen Footer-Spruch wert! Lg Kai

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@ Kai:
Ich trete die Rechte an diesem Spruch gerne an Dich ab :-)

LG Andreas

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Na gut, ein Physiker würde jetzt sagen: "98 von 100? Das ist in der Größenordnung \(10^2\)%."

Ein Ingenieur: "(100\(\pm\)2)% (Messungenauigkeit)." :-D

Answer 2

x² - tx + 2t = 0

x = -p/2 ± √((p/2)^2 - q)

es gibt nur eine Lösung wenn der Term unter der Wurzel null ist.

(t/2)^2 - 2t = 0
t^2/4 - 8/4*t = 0
t*(1/4*t - 8/4) = 0

t = 0

1/4*t - 8/4 = 0
t - 8 = 0
t = 8

Es gibt nur für t = 0 und für t = 8 genau eine Lösung.

Answer 3

Das Grundmotiv ist das geschmähte Stiefkind, der Satz von Vieta.

x ² - p x + q = 0  ( 1 )

Vieta besagt

p = x1 + x2   ( 2a )

q = x1 x2   ( 2b )

Jeztt war aber gesetzt

x1 = x2 =: x0    ( 3a )

p = 2 x0 = t   ( 3b )

q = x0 ² =  2 t  ( 3c )

Aus ( 3bc ) folgt

x0 ² = 4 x0    ( 4a )

x0 ( x0 - 4 ) = 0  ( 4b )

x1 = 0 ; x2 = 4   ( 4c )

und aus ( 3b )

t1 = 0 ; t2 = 8     ( 5 )

Answer 4

Du kannst etwa so vorgehen wie bei https://www.mathelounge.de/56115/welche-genau-losung-bestimme-zuerst-koeffizienten-gleichung

A = 1

B = -t

C = 2t

D = B^2 - 4AC = t^2 - 8t = 0.         |faktorisieren

t(t-8) = 0

t₁ = 0,

t₂ = 8

Answer 5

 

sie hat genau dann eine Lösung, wenn die Diskriminante der p-q-Formel = 0 ist. 

Wir nutzen die p-q-Formel: 

x_1,2 = t/2 ± √((t/2)² - 2t)

Wenn nun (t/2)² - 2t = 0, dann hat die Gleichung nur die Lösung x = t/2

Und wann ist dies der Fall?

Wenn 

(t/2)² = 2t

t²/4 = 2t | :t

t/4 = 2 | *4

t = 8

Die Gleichung x² - tx + 2t = 0 hat genau eine Lösung für t = 8; die Lösung lautet 4.

Ebenso, wie von 10001000Nick1, hanswurst5000, dem Mathecoach und Lu ausgeführt, gibt es genau eine Lösung für t = 0; dann lautet sie 0.

Besten Gruß

Comments

Alternative: Auch bei t=0 gibt es nur eine Lösung.

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@ Lu:
Danke Dir!!
Warum nur übersehe ich so etwas immer :-(

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Wenn man durch einen Term dividiert, der die Unbekannte enthält, kann man Lösungen verlieren.

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Ich werde demnächst darauf achten !!!

Answer 6

Für t=0 hat die Gleichung genau die Lösung 0 (x^2=0 hat offensichtlich x=0 als einzige Lösung). Für t≠0 hat die Gleichung immer 2 Lösungen, da du diese Gleichung dann mit Hilfe der PQ-Formel oder ähnlichem lösen kannst.

(Auch x^2=0 hat eigentlich die Lösungen x=+0 und x=-0, da diese aber identisch sind, sagt man, dass die Gleichung nur eine Lösung hat)

Comments

Für t=8 gibt es auch nur eine Lösung. :-)

Answer 7

Ein anderer Lösungsweg:

"Für welche Parameter \( t \) hat die Gleichung \( x^{2}-t x+2 t=0 \) genau eine Lösung?"
\( f_{t}(x)=x^{2}-t x+2 t \mid-2 t \)
\( f_{t}(x)-2 t=x^{2}-t x \mid+q \cdot E \cdot\left(-\frac{t}{2}\right)^{2}=\frac{t^{2}}{4} \)
\( f_{t}(x)-2 t+\frac{t^{2}}{4}=x^{2}-t x+\frac{t^{2}}{4} \)
\( f_{t}(x)-2 t+\frac{t^{2}}{4}=\left(x-\frac{t}{2}\right)^{2} \)
\( f_{t}(x)=\left(x-\frac{t}{2}\right)^{2}+2 t-\frac{t^{2}}{4} \)
\( S\left(\frac{t}{2} \mid 2 t-\frac{t^{2}}{4}\right) \)
\( 2 t-\frac{t^{2}}{4}=0 \)
\( t_{1}=0 \)
\( t_{2}=8 \)
\( f_{0}(x)=x^{2} \)
\( f_{8}(x)=x^{2}-8 x+16=(x-4)^{2} \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets