Lage des Kegelschnittes mit Parameterdarstellung x = (sin(t))^2 und y = sin(t)*cos(t) ermitteln

Question

Guten Tag

Ich weiß leider nichtmal einen Ansatz..

Lage des Kegelschnittes mit Parameterdarstellung x = (sin(t))^2 und y = sin(t)*cos(t) ermitteln

Answer 1

sin(t)^2+cos(t)^2=1

x einsetzen, y umstellen um cos(t)^2 zu erhalten

zusammenfassen und quadratisch ergänzen ergibt

(x-1/2)^2+y^2=1/4

ein kreis...

Comments

Hallo wächter,

da kommt bei mir nach y umgestellt nur
Imaginäres heraus.

---

Nicht "nach y umstellen", sondern "y=sin(t)*cos(t) umstellen" nach cos^2(t).

---

ja, danke für die Klarstellung.

cos(t)^2 = y^2/x

Es ist die implizite Form gefordert, also

f(x,y)=0

---

Und wie komme ich dann von der impliziten Form auf (x-1/2)²+y2=1/4 ?

---

(x-1/2)^2+y^2=1/4
y^2 = 1/4 - ( x - 1/2 )^2
y = √ [ 1/4 - ( x - 1/2 )^2 ]

---

Und wie komme ich dann von der impliziten Form auf (x-1/2)^{2}+y2=1/4 ?

Das IST eine implizite Form!

---

Also ich bin jetzt bei $$0=\frac{y^2}{x}-cos^2(t)$$ als implizite Darstellungsform.

Wie ich komme ich davon dann auf $$\frac{1}{4}=y^2+(x-\frac{1}{2})^2$$?

---

Hat sich erledigt. Danke euch für die Hilfe.

---

zur Klarstellung

aus der Parameterform x=sin(x)^2, y=cos(t) sin(t)

gewinne ich Aussagen über sin(t)^2 und cos(t)^2

und setze die ein in sin(t)^2+cos(t)^2=1

y=cos(t) sin(t) >> cos(t)=y/sin(t)

cos(t)^2=y^2/sin(t)^2

cos(t)^2=y^2/x

x+y^2/x=1

x^2-x+y^2=0

.. s.o.

---

@Das IST eine implizite Form!

Es gibt bei einem der Online-Tests für Wirtschaftswissenschafter eine Vorgabe, dass 
die implizite Form auf einer Seite der Gleichung eine 0 hat. Üblich ist diese Vorgabe eigentlich nicht.

Answer 2

Rein formal umgestellt

Die Funktion ergibt einen Kreis

Comments

Inwiefern ergibt das einen Kreis und nicht einen Halbkreis? Und wo ist, richtige Rechnung mit Äquivalenzumformungen vorausgesetzt, der wesentliche Unterschied zur Ausgabe deines Algebra-Programms?

Interessant ist dabei, dass beide Darstellungen irgendwie richtig sind (das wäre natürlich noch zu zeigen), aber der Aufgabensteller vermutlich eher die klassische Variante, nämlich

$$\left(x-\dfrac 12\right)^2+y^2=\left(\dfrac 12\right)^2$$erwartet hat.

Answer 3

am einfachsten gehts so:

x=sin(t)^2

y^2=sin(t)^2*cos(t)^2=xcos(t)^2=x(1-sin(t)^2)=x(1-x)

y^2=x(1-x)

y^2=1/4-(x-1/2)^2

y^2+(x-1/2)^2=(1/2)^2

Answer 4

     Dieser Kreis hat Durchmesser  Eins  ;   es handelt sich um die Darstellung des Thaleskreises in Polarkoordinaten ( PK )

     (   Der Nullpunkt  der  PK  fällt mit dem Ursprung des cartesischen Achsenkreuzes zusammen.  )  Dann folgt aus dem Satz des Thales ( mit Durchmesser Eins )

      r  (  ß  )  =  cos  (  ß  )         (  1  )

     x  =  r  cos  (  ß  )=  cos  ²  (  ß  )  =     (  2a  )

          =  x0  +  R  cos  (  2  ß  )      (  2b  )

          mit

       

            R  =  x0  =  1/2        (  3  )

      In ( 2b ) wurde ein Additionsteorem benutzt .

       y  =  r  sin  (  ß  )  =  R  sin  (  2  ß  )      (  4a  )

    z  :=  x  +  i  y  =  x0  +  R  exp  (  2  i  ß  )     (  4b  )

    ( Der Zentriwinkel isg gleich dem doppelten  Sehwinkel. )