Wie zeige ich, dass eine Menge abgeschlossen und beschränkt ist? M = {(x,y) | x^2 + y^2 = 1}

Question

Hallo :)

Kann mir jemand zeigen wie ich hier formal aufschreibe/beweise/zeige, dass die Menge M = {(x,y) ∈ℝ^{2} | x^2 + y^2 = 1}  abgeschlossen und beschränkt ist?

\(M := \{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in  \mathbb{R} ^ { 2 } | x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = 1 \}\)

Comments

abgeschlossen und beschränkt

Weisst Du ueberhaupt, was diese Begriffe bedeuten?

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Ja ich kenne die deffinitionen, aber ich weiß nicht wie ich die auf ein konkretes Beispiel anwenden kann

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Vielleicht reproduzierst Du diese Defintionen hier mal.

Hast Du schon erkannt, was M -- geometrisch gesprochen -- so ist?

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Geometrische ist das doch der Einheitskreis oder?

Abgeschlossen ist etwas, wenn das komplement offen ist...also muss ich zeigen, dass R^2\M offen ist.

Und offen ist was,wenn es für jedes x der Menge eine Umgebung gibt mit dem Radius epsilon größer 0 und diese Umgebung vollständig in der Menge liegt. Aber ich weiß wirklich nicht wie ich das auf ein konkretes Beispiel anwenden soll...

Und beschränkt ist etwas wenn es für ein xo der Menge eine Umgebung gibt mit radius größer 0, in der die Menge komplett drinnen liegt.

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offen ist was,wenn es für jedes x der Menge eine Umgebung gibt mit dem Radius epsilon größer 0 und diese Umgebung vollständig in der Menge liegt.

Skizziere mal. Waehle einige Punkte aus \(\mathbb{R}^2\setminus M\) aus und zeichne solche \(\varepsilon\)-Umgebungen ein. Wie gross kann man \(\varepsilon\) waehlen?

Und beschränkt ist etwas wenn es für ein xo der Menge eine Umgebung gibt mit radius größer 0, in der die Menge komplett drinnen liegt.

Wir befinden uns in einem normierten Raum. Da kann man auch sagen: \(M\) ist beschraenkt, wenn es eine positive Zahl \(K\) mit \(\lVert x\rVert\le K\) für alle \(x\in M\) gibt.

Wo kommt in der Definition von \(M\) die Norm vor? Gib ein passendes \(K\) an.

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egal wie nahe mein Punkt an der Menge ist kann ich epsilon so klein wählen, dass die Umgebung vom dem Punkt noch in R^2\M liegt.....Tut mir leid ich weiß wirklich nicht welches epsilon ich jetzt genau wählen soll und wie man es dann formal aufschreibt

Ich denke mal die euklidische Norm? Also √(x₁²) + (x₂²) ≤ 1   ist also 1=K ?

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\(M\) ist eine Kreislinie, keine Kreisscheibe. Das von Dir schraffierte Innere gehoert nicht zu \(M\).

Das mit der Beschraenktheit ist doch total trivial. \(M\) besteht aus allen \(x\in\mathbb{R}^2\) mit \(\lVert x\rVert=1\). Also gilt erst recht \(\lVert x\rVert\le1\) für alle \(x\in M\).

Das Komplement von \(M\) besteht aus zwei Teilen. Der offenen Einheitskreisscheibe im Inneren und dem unbeschraenkten Aussengebiet. Wenn man in einem von den zwei Teilen einen Punkt \(y\) waehlt, dann liegt die ganze \(\varepsilon\)-Umbegung mit \(\varepsilon=\bigl|1-\lVert y\rVert\bigr|\) (Abstand von \(y\) zur Kreislinie) in diesem Teil. Verifiziere das mit der Dreiecksungleichung.

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Danke für die Erklärung :)

Was meinst du mit der Dreicksungleichung verifizieren?

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Ich habe ein passendes \(\varepsilon\), so dass aus \(y\in\mathbb{R}^2\setminus M\) stets (+) \(B_\varepsilon(y)\subset\mathbb{R}^2\setminus M\) folgt, durch geometrische Anschauung erhalten. Das ist kein Beweis. Dass (+) wirklich mit \(\varepsilon=\bigl|1-\lVert y\rVert\bigr|\) gilt, ist noch nachzurechnen. Dabei ist die Dreiecksungleichung eben das wesentliche Hilfsmittel.

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Es tut mir wirklich sehr leid...ich will nicht frech erscheinen,aber kannst du mir das an diesen Beispiel nur einmal vormachen wie so was geht? Ich kann es einfach nicht und bin grade ein bisschen am verzweifeln.

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Du weiist nicht, wie man Teilmengenbeziehungen wie (+) verifiziert? Das sind Basics. Hat mit dem speziellen Thema gar nichts zu tun.

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Ich kann es leider wirkliche nicht. :(

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Dann ist Deine weitere Beschaeftigung mit dem Thema sinnlos. Stell das mal eine Weile zurueck und beschaeftige Dich stattdessen mit den Basics der naiven Mengenlehre. Wie beweist man Teilmengenbeziehungen und so Sachen.

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Ich weiß, aber ich sitze jetzt schon so lange an dieser Aufgabe.

 Und mittlerweile weiß ich auch dass ich dumm bin, aber ich schreibe in ein paar Tagen eine Klausur und so eine ähnliche Aufgabe wird drann kommen.

Kannst du mir bitte, bitte zeigen wie das geht

Answer 1

Sei m ∈ ℝ²\M. Zeige, dass m kein Häufungspunkt von M ist.

Zeige dass es ein ε ∈ ℝ gibt, so dass |m₂-m₁| ≤ ε für alle m₁, m₂ ∈ M ist. Tipp: ε = 2 ist eine geeignete Wahl.

Comments

Ich verstehe nicht ganz was das mit dem Häufungspunkt zu tun hat :(

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Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie jeden ihrer Häufungspunkte enthält.

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Also muss, wenn ich zeigen soll, dass m kein Häufungspunkt von M ist,ein Widerspruch entstehen?

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A sei die Aussage "m ist Häufungspunkt von M"

B sei die Aussage "m∈M"

Die Aussage "M ist abgeschlossen" lässt sich dann formulieren als

(1)        Wenn A gilt, dann gilt auch B.

Diese Aussage ist äquivalent zu

(2)        Wenn B nicht gilt, dann gilt auch A nicht.

Die Aussage (2) nennt man Kontraposition von (1). Das hat nichts mit Widerspruch zu tun.