Konvergenz - Quotientenkriterium

Question

Hallo

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}(n+1)!}{(2(n+1))!}\frac{(2n)!}{2^nn!}$$

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2(n+1)(2n)!}{(2(n+1))!}$$

Erstmal richtig so ? Wie kürze ich nun weiter ?

Fakultäten kürzen fällt mir sehr schwer

Answer 1

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Comments

Vielen Dank schonmal.

Wie komme ich von $$(2(n+1))!$$ zu $$(2n)!(2n+1)(2n+2)$$ ?

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Erweitere mit Hilfe von \(n!=n\cdot (n-1)!\).

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Ich muss gestehen, dass ich immernoch nicht sehe, wie das genau aufzulösen ist..

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(2(n+1))! ---> (2n+2)!

Wir wissen, dass n!=n*(n-1)!:

=(2n+2)*(2n+1)!    Hier nochmal anwenden

=(2n+2)*(2n+1)*(2n)!

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Vielen Dank für die Hilfe !

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zu Deiner Frage: Wie komme ich..

=(2n+2)!

(2n+2)!=(2n+2)⋅(2n+1)⋅2n⋅(2n−1)⋅(2n−2)⋯2⋅1

2n *(2n−1)⋅(2n−2)⋯2⋅1= (2n)!

Answer 2

Wir untersuchen die Summe\(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^n\cdot n!}{(2n)!}}\) auf deren Konvergenz:$$\bigg |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigg |=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)!}{(2(n+1))!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$$ Das lässt sich weiter kürzen mit Hilfe von \(n!=n\cdot (n-1)!\):$$=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+1)\cdot (2n)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$$ Nun kannst du locker easy kürzen:$$\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+2)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$$ Erweitere den Nenner des ersten Bruchs mit \(n!=n\cdot (n-1)!\) und erhalte:$$=\frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot n!}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$$ Kürze nun den Bruch:$$=\frac{2(n+1)}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!}\cdot (2n)!$$ Klammere aus und kürze weiter:$$=\frac{2(n+1)}{2(n+1)\cdot (2n+1)}$$$$=\frac{1}{2n+1}$$ Nun den Grenzwert berechnen:$$\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}$$$$\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{n\cdot \frac{1}{n}}{n\cdot \left(2+\frac{1}{n}\right)}$$$$\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{0}{2+0}=0$$

Das heißt, dass die Reihe absolut konvergiert.

Comments

So, ich hatte eben einen Fehler drin. Nun stimmt alles.