Ist die Menge {1,2} beschränkt oder abgeschlossen und wieso?

Question

Aufgabe:

Ist die Menge {1,2}

• beschränkt?
• abgeschlossen?

Begründen Sie!
Hinweis zur Abgeschlossenheit: welche Folgen (was ist eine Folge?) aus den beiden Elementen dieser Menge sind überhaupt nur möglich?

Könnte mir jemand evtl erklären wie ich hier vorgehen muss. Leider weiß ich gar nicht wie ich die Aufgabe angehen muss bzw wie ich zur Antwort komme..

Wie untersuche ich generell ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht?

Comments

Ist die Menge (1,2) beschränkt oder abgeschlossen und wieso?

Ist die Menge {1,2} ...

Zunächst solltest du den Unterschied zwischen der Menge (1,2) und der Menge {1,2} verstehen.

Um welche der beiden Mengen geht es dir?

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Es geht bei mir um die Menge {1,2}

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Vielleicht kannst du ja das Komplement der Menge als
Vereinigung offener Intervalle schreiben ?

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Würde das komplement der Menge dann eine Vereinigung von:

(-inf,1) und (2,+inf) sein.

Und wie gehe ich nun vor? Was sagt mir das?

Sorry, Das Thema wurde nur am Rand der VL kurz angesprochen und aus dem Internet konnte ich mir nichts wirklich selbst erklären..

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Also weil das Komplement bzw. die Vereinigung der Intervalle, die das komplement definieren offen ist, ist die Menge abgeschlossen? Aber wie kommst du auf 3 intervalle als Komplemente. Ich komme nur auf die beiden oben

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Nein: das Komplement ist

\((-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,\infty)\),

also die Vereinigung von drei offenen Intervallen und da
offene Intervalle offen sind und Vereinigungen offener Mengen
offen sind, ist das Komplement offen.

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Aso ja stimmt die natürlichen Zahlen 1 und 2 sind jeweils in unserer Menge drin, der Zwischenraum von 1-2 ist somit nicht in der Menge und somit ein Intervall im komplement (also das dritte was mir nicht eingefallen ist).

Nun nochmal. Da Jz bewiesen wurde, dass das Komplement der Menge offen ist, ist auch bewiesen dass die Menge selbst abgeschlossen ist.

Generell ist die jede endliche  Menge in Form von {1,2,3 -n} bei einer fest definierten Zahl n, abgeschlossen oder? Da das komplement offen ist

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Ja, so ist es :-)

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Danke für deine hervorragende Erklärung!  Nur um sicherzugehen, dass ich das alles richtig verstanden habe hier meine Lösung zu einer anderen ähnlichen Aufgabe. Könntest du mir kurz nur rückmelden ob ich richtig oder eventuell falsch liege?

Und wenn wir folgende Menge auf Abgeschlossenheit untersuchen müssen:

[-2,1) \ {0} U [3,5)

Dann hätten wir doch wenn ich mich nicht irre als Komplement eine Vereinigung folgender Intervalle

(-∞,-2) U [0] U [1,3) U [5, ∞)

Da die Intervalle zum Teil nicht offen sind und die Vereinigung der Intervalle und somit das Komplement ebenfalls nicht offen ist, ist die Menge an sich nicht abgeschlossen.

Um die o.g Menge abzuschließen muss ich nun dafür sorgen dass das Komplement offen ist. Dafür müsste ich dann die Ränder zur Menge  hinzufügen und hätte dann [-2,1] U [3,5] oder? Und dessen Komplement wäre ja (-∞,-2) U (1,3) U (5,∞) und somit wäre das komplement nun offen und demzufolge die Menge abgeschlossen.

Kannst du vielleicht kurz sagen ob meine Lösung richtig ist?

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Bin nun leider außer Haus und erst am späten Nachmittag wieder
am Computer.

Answer 1

Hallo,

sei \(X\) eine Menge versehen mit einer Topologie \(\tau\). Ist \(x\in X\), so ist \(\{x\}\) kompakt. Das kann man mit der Überdeckungs-Charakterisierung der Kompaktheit gut nachweisen. Eine Menge heißt hier kompakt, wenn für jede offene Überdeckung der Menge eine endlich Teilüberdeckung exisitiert, die immer noch die Menge überdeckt.

Sei \(\{U_i\}_{i\in I}\) wobei \(I\) eine beliebige Indexmenge ist und \(U_i\in X\) für alle \(i\in X\), so dass \(X= \bigcup \limits_{i\in I}U_i\). D. h. es gilt \(x\in\bigcup \limits_{i\in I}U_i\) und es gibt ein \(j\in I\), so dass \(x\in U_j\), also \(\{x\}\subset U_j\). D. h. wir haben die Überdeckung zu einer endlichen Teilüberdeckung reduziert. Dies ist äquivalent zur Kompaktheit.

Nun ist die Vereinigung kompakter Mengen kompakt, so dass \(\{1,2\}=\{1\}\cup \{2\}\) kompakt ist. Da die endliche Vereinigung kompakter Mengen kompakt ist, folgt hieraus sogleich, dass endliche Mengen in einem topologischen Raum kompakt sind.

Comments

Muss man nicht noch Hausdorff verlangen, damit man aus der Kompaktheit
auf die Abgeschlossenheit schließen kann?

Gut: in einem metrischen Raum ist diese Eigenschaft gegeben.

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Ich habe leider daraus noch nicht verstanden wie ich vorgehen muss..

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Versuch doch mal, das Komplement der Menge als Vereinigung von drei offenen
Intervallen zu schreiben. Wenn dir das gelingt, weißt du, dass das Komplement
offen ist, also die Menge selbst abgeschlossen ...

Das Kompaktheitsargument ist ein bisschen
"mit Kanonen auf Spatzen geschossen" ;-)

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Muss man nicht noch Hausdorff verlangen, damit man aus der Kompaktheit
auf die Abgeschlossenheit schließen kann?

Ich habe die Antwort in einem sehr allgemeinen Setting verfasst. Wenn man den Satz von Heine-Borel kennt, sollte man aber damit klar kommen.