Wie zeige ich, dass die Menge graph(f) abgeschlossen ist?

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass die Menge $$graph(f):=\left\{\begin{pmatrix} x\\f(x) \end{pmatrix}\in R^{2} \ \ | \ \ x\in R \right\}$$

abgeschlossen ist, wobei $$f(x)=x^{2}$$

Ich weiß:

$$Eine~Menge~D~ist~abgeschlossen,~wenn~für~jede~konvergente~Folge~x_{k}~aus~ D~auch~der~\\zugehörige~Grenzwert~ \lim\limits_{k\to\infty}x_{k}~\in~D~ist$$

Mein Ansatz:

$$Sei~x_{k}~\in~R~mit~\lim\limits_{k\to\infty}x_{k}~=~x,~dann~ist~\lim\limits_{k\to\infty}f(x_{k})=f(\lim\limits_{k\to\infty}~x_{k})~(da~stetig)~=f(x)$$

Allerdings glaube ich, dass mein Ansatz falsch ist, da ich selber nicht verstehe wieso dies zeigen sollte, dass die Menge abgeschlossen ist.

Vielen Dank schonmal

Answer 1

Der Graph \(\operatorname{graph}(f)=\{(x,f(x)) : x\in \mathbb{R}\}\) ist abgeschlossen bezüglich der Produktmetrik \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\)..

Dafür pickt man sich einfach eine Folge \((x_n,y_n)\) in \(\operatorname{graph}(f)\) wobei \((x_n,y_n)\to (x,y)\in \mathbb{R}^2\). Nun ist die Folgenabgeschlossenheit zu zeigen, dafür muss man zeigen, dass \((x,y)\in \operatorname{graph}(f)\). Aus \((x_n,y_n)\in \operatorname{graph}(f)\) folgt \(y_n=f(x_n)\). Dann ist:$$\begin{aligned} & & & & & & \lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=\left(\lim\limits_{n\to\infty} x_n, \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n) \right)\overset{(*)}{=}\lim\limits_{n\to\infty} (x,f(x)) \end{aligned}$$ wobei wir in \((*)\) verwendet haben, dass \(f\) stetig ist, womit wegen der Eindeutigkeit des Grenzwerts in metrischen Räumen \(y=f(x)\) mit \((x,y)\in \operatorname{graph}(f)\) folgt.