Ich würde den Induktionsschritt so formulieren:
-Angenommen die Aussage sei für beliebiges, aber festes, n≥2∈ℕ wahr sodass gilt:
$$ \frac{4^n}{n+1}<\frac{(2n)!}{(n!)^2}\quad (IV). $$
Dann gilt diese Aussage auch für n+1, also $$ \frac{4^{n+1}}{n+2}<\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} $$
Die zeigt man so:
$$ \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}=\frac{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot(2n)!}{((n+1)\cdot n!)^2}=\frac{2\cdot(n+1)\cdot (2n+1)\cdot(2n)!}{(n+1)^2\cdot (n!)^2}\\=\frac{2\cdot (2n+1)\cdot(2n)!}{(n+1)\cdot (n!)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}\stackrel{(IV)}{>}\frac{4n+2}{n+1}\cdot \frac{4^n}{n+1}\\=\frac{4n+2}{(n+1)^2}\cdot 4^n\stackrel{(*)}{>}\frac{4}{n+2}\cdot 4^n=\frac{4^{n+1}}{n+2}.$$
$$(*)\quad \forall n \in \mathbb{N}, n\geq 2: \quad \frac{4n+2}{(n+1)^2}>\frac{4}{n+2}. $$Beweis durch Widerspruch. Sei n∈ℕ, n≥2. Angenommen es gelte: $$ \frac{4n+2}{(n+1)^2}\leq\frac{4}{n+2}. $$ Dann ist:
$$ \frac{4n+2}{(n+1)^2}\leq\frac{4}{n+2} \\\Leftrightarrow (4n+2)\cdot (n+2) \leq 4\cdot (n+1)^2\\\Leftrightarrow 4n^2+10n+4\leq 4\cdot (n+1)^2\\\Leftrightarrow (4n^2+8n+4)+2n\leq 4\cdot (n+1)^2\\\Leftrightarrow 4\cdot(n+1)^2+2n\leq 4\cdot(n+1)^2\\\Leftrightarrow 2n\leq 0$$ein Widerspruch zu der Voraussetzung. Damit folgt die Behauptung (*).
Damit wurde auch die obige Aussage $$ \frac{4^n}{n+1}<\frac{(2n)!}{(n!)^2},\quad n\geq 2 $$ bewiesen.
EDIT: Achso in der deiner IB sagst du n=n+1. Das ist so nicht richtig, da du es ja für n+1 zeigen willst, was offensichtlich nicht n ist.
