Regeln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung zeigen oder nicht zeigen

Question

Zu Beweisen oder Widerlegen sind die Aussagen:

$$ p(B)=p(B,A)+p(B,\overline { A } ) $$

$$ p(A)=p(A|B)+p(A|\overline { B } ) $$

Also die erste abe ich mir über ein Venn Diagramm gezeichnet und bin mir sicher, dass das auch so richtig ist. Die zweite würde ich auch gerne über ein Venn Diagramm lösen, aber ich Scheiter an dem P(A|B) Teil :(

Dann mir jemand vielleicht zewichnerisch über das Venn Diagramm und über eine MAthematische Rechnung zeigen, warum diese Aussagen falsch oder rochtig sind?

Thanks!

Answer 1

über ein Venn Diagramm lösen, aber ich Scheiter an dem P(A|B) Teil

Dann verwende stattdessen die Defintion der bedingten Wahrscheinlichkeit:

    P(A|B) = P(A,B) / P(B).

Konstruiere damit eine Grundmenge Ω und Teilmengen A,B⊂Ω, die die Aussage widerlegen.

Comments

Ok kannst du mir etwas weiterhelfen:

Also ich habe nun

$$ P(A) = \frac{P(A,B)}{P(B)}+\frac{P(A,\overline { B }) }{P(\overline { B }) } $$

$$\Omega = {1,2,3,4,5,6} $$

$$ A = \{1,2,3\} $$

$$ B = \{1,2,3,4,5,6\} $$

$$ A\cap B=\left\{ 1,2,3 \right\} $$

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Das Beispiel (als B = {4,5,6} war) war geeignet. Setze auf der rechten Seite der Gleichung ein und berechne.

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Ok danke, wie gehe ich dann mit der Division um?

Und was ist dan in nicht B enthalten? Enthält nicht B die leere Menge?

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Dann gibt es aber keine Schnittmenge bei \(B={4,5,6}\) und \(A={1,2,3}\) und einem Universum von \(\Omega={1,2,3,4,5,6}\).

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Dein neues Beispiel mit B = Ω ist nicht mehr geeignet. Verwende, wie ursprünglich, B = {4,5,6}.

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Dann gibt es aber keine schnittmenge mehr?

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Es gibt immer eine Schnittmenge. Manchmal ist sie leer, aber auch leere Mengen gibt es.

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Ok, dann hätte ich die Division aus der leeren Menge und der Menge {4,5,6}

$$ P(A) = \frac{P(A,B)}{P(B)}+\frac{P(A,\overline { B }) }{P(\overline { B }) } $$

$$ \{1,2,3\} = \frac{\{\}}{\{4,5,6\}} + .. $$

Bei den ... weiß iczh nicht wirklich weiter

Ich würde sagen die Schnittmenge aus A und nicht B ist auch leer. Und B negiert ist die leere Menge?

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Mit Ω = {1,2,3,4,5,6} und A = {1,2,3} und B = {4,5,6} ist

     A∩B = {1,2,3} ∩ {4,5,6} = ∅.

Allgemein gilt bei Laplace-Experimenten (d.h. jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlöichkeit) für jedes M ⊂ Ω

    P(M) = |M| / |Ω|

und somit

    P(A∩B) = |A∩B| / |Ω| = |∅| / |Ω| = 0/6 = 0.

Außerdem ist ̅B = Ω\B = {1,2,3,4,5,6}\{4,5,6} = {1,2,3} = A.

Du hast in deinem vorherigen Kommentar Mengen dividiert (zum Beispiel {}/{4,5,6}). Das macht man nicht.