Gibt es 2 Möglichkeiten den komplexen Term i^{7} zu vereinfachen?

Question

Wenn

$${i}^7={i}^2{i}^2{i}^3=(-1)(-1){i}^3={i}^3=-i$$

die erste Möglichkeit ist den Term zu vereinfachen,

kann man dann auch über Potenzgesetzte

mit $$i=\sqrt(-1)={(-1)}^{\frac{1}{2}}$$

so vereinfachen?

$${i}^7={({(-1)}^{\frac{1}{2}})}^7={({(-1})^{7})}^{\frac{1}{2}}={(-1)}^{\frac{1}{2}}=i$$

Answer 1

die erste Variante ist richtig. Bei der zweiten Variante kommt was anderes raus, weil bei den komplexen Zahlen das Potenzgesetz

(z^{a})^b= (z^b)^{a} im allgemeinen nicht gilt. ( Technisch gesehen könnte (-1)^{1/2}=-i sein, weil dann weiterhin i^2=-1 gilt)

Wenn du es über Potenzen machen willst, dann mit der Exponentialform:

i^7=e^{i*pi/2}^7=e^{i*7pi/2}=e^{i*3pi/2}=-i