Umformungen in komplexe Ausdrücke

Question

Aufgabe:

Wie kommt man auf folgende Umformungen bzw. Ausdrücke mit komplexen Zahlen?

Z.B. von (x² - 1)(x² + 1) auf (x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i) ?

Oder z.B. von x² − 2x + 5 = (x − 1)² + 4 auf (x − 1 − 2i)(x − 1 + 2i) ?

Problem/Ansatz:

Ich wäre sehr dankbar für eine Erklärung oder ein Vorgehen, mit dem ich dann beliebige Ausdrücke in komplexe Zahlen umwandeln könnte. Danke! :)

Answer 1

(x² - 1)(x² + 1) = (x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i)

(x² - 1)=(x+1)*(x-1)

x² + 1=0

x²=-1=  \( i^{2} \)   |\( \sqrt{} \)

x₁=i

x₂ =-i

Answer 2

Erster Faktor: 3. bin Formel

Zweiter Faktor: x²=-1; x²=i²; x=±i.

Answer 3

Hallo

x^2+1=0 folgt x=±√-1=±i  das Produkt der 2 Nullstellen gibt (x-i)*(x+i)  warum hast du nicht einfach aasmultipliziert?

entsprechend

x^2 − 2x + 5 =0  folgt x=1±\( \sqrt{1-5} \) =1±2i  also hast du das Produkt mit den 2 Nullstellen (x-(1+2i))*(x-(1-2i)

Gruß lul

Answer 4

Gemäß 3. Binomische Formel gilt

(x^2 - a^2) = (x + a)·(x - a)

Also

(x^2 - a) = (x + √a)·(x - √a)

(x^2 - 1) = (x + √1)·(x - √1) = (x + 1)·(x - 1)

(x^2 + 1) = (x^2 - (-1)) = (x + √(-1))·(x - √(-1)) = (x + i)·(x - i)

Ist das jetzt klar oder sind noch Fragen?